Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, mặt bên (SAD) là tam giác vuông tại S. Hình chiếu vuông góc của S trên mặt đáy là điểm H thuộc AD sao cho HA=3HD. Biết SA=2a căn bậc hai 3,

99/100

Cho hình chóp \[S.ABCD\] có đáy \[ABCD\] là hình chữ nhật, mặt bên $(SAD)$ là tam giác vuông tại $S$. Hình chiếu vuông góc của $S$ trên mặt đáy là điểm $H$ thuộc \[AD\] sao cho $HA = 3HD$. Biết $SA = 2a\sqrt 3 $, \[SC\]tạo với đáy một góc $30^{°}$ . Gọi $M$ là trung điểm \[AB.\] Tính ${d_{[M;(SBC)]}}$.

$\frac{{a\sqrt {33} }}{{11}}$.

$\frac{{a\sqrt {66} }}{{22}}$.

$\frac{{2a\sqrt {66} }}{{11}}$.

$\frac{{a\sqrt {66} }}{{11}}$.

Giải thích

Giải chi tiết:

$Giải chi tiết: Ta có \(f(x)\ln f(x) = x(f(x) - f'(x)) \ (ảnh 1)$

Trong $(ABCD)$ kéo dài $MH$ cắt $BC$ tại $N$, kẻ $HK\parallel AB\parallel CD\;(K \in BC)$.

Áp dụng định lí Ta-lét ta có: $\frac{{MN}}{{NH}} = \frac{{MB}}{{HK}} = \frac{1}{2} \Rightarrow M$ là trung điểm của $HN.$

Ta có: $HM \cap (SBC) = N \Rightarrow \frac{{d(M;(SBC))}}{{d(H;(SBC))}} = \frac{{MN}}{{HN}} = \frac{1}{2} \Rightarrow d(M;(SBC)) = \frac{1}{2}d(H;(SBC))$.

Trong $(SHK)$ kẻ $HI \bot SK$ ta có:

$\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{BC \bot HK}\\{BC \bot SH}\end{array}} \right. \Rightarrow BC \bot (SHK) \Rightarrow BC \bot HI$

$\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{HI \bot SK}\\{HI \bot BC}\end{array}} \right. \Rightarrow HI \bot (SBC) \Rightarrow d(H;(SBC)) = HI$

+ Đặt $SH = x$.

+ $∠ (S C; (A B C D)) = ∠ (S C; H C) = ∠ S C H = 30^{°}$

+ $Δ S H C : H C = S H \cdot \cot 30^{°} = x \sqrt{3}, S C = \frac{S H}{\sin 30^{°}} = 2 x$

+ $\Delta SAH:AH = \sqrt {S{A^2} - S{H^2}} = \sqrt {12{a^2} - {x^2}} $

$ \Rightarrow AD = \frac{4}{3}AH = \frac{4}{3}\sqrt {12{a^2} - {x^2}} ,DH = \frac{1}{4}AD = \frac{1}{3}\sqrt {12{a^2} - {x^2}} $.

+ $\Delta SAD:SD = \frac{{SH \cdot AD}}{{SA}} = \frac{{x \cdot \frac{4}{3}\sqrt {12{a^2} - {x^2}} }}{{2a\sqrt 3 }} = \frac{{2x\sqrt {12{a^2} - {x^2}} }}{{3a\sqrt 3 }}$.

+ $\Delta CDH:CD = \sqrt {C{H^2} - D{H^2}} = \sqrt {3{x^2} - \frac{{12{a^2} - {x^2}}}{9}} = \frac{{2\sqrt {7{x^2} - 3{a^2}} }}{3}$.

+ $CD \bot (SAB) \Rightarrow CD \bot SD \Rightarrow \Delta SCD$ vuông tại $D$.

$ \Rightarrow S{D^2} + C{D^2} = S{C^2}$

$ \Leftrightarrow {\left( {\frac{{2x\sqrt {12{a^2} - {x^2}} }}{{3a\sqrt 3 }}} \right)^2} + {\left( {\frac{{2\sqrt {7{x^2} - 3{a^2}} }}{3}} \right)^2} = 4{x^2}$

$ \Leftrightarrow \frac{{4{x^2}(12{a^2} - {x^2})}}{{27{a^2}}} + \frac{{4(7{x^2} - 3{a^2})}}{9} = 4{x^2}$

$ \Leftrightarrow \frac{{48{a^2}{x^2} - 4{x^4} + 84{x^2}{a^2} - 36{a^4}}}{{27{a^2}}} = 4{x^2}$

$ \Leftrightarrow 132{a^2}{x^2} - 4{x^4} - 36{a^4} = 108{a^2}{x^2}$

$ \Leftrightarrow 4{x^4} + 36{a^4} - 24{a^2}{x^2} = 0$

$ \Leftrightarrow {(2{x^2} - 6{a^2})^2} = 0$

$ \Leftrightarrow 2{x^2} = 6{a^2}$

$ \Leftrightarrow {x^2} = 3{a^2} \Leftrightarrow x = a\sqrt 3 = SH$

$ \Rightarrow CD = \frac{{2\sqrt {21{a^2} - 3{a^2}} }}{3} = 2\sqrt 2 a$

+ $\Delta SHK:HI = \frac{{SH \cdot HK}}{{\sqrt {S{H^2} + H{K^2}} }} = \frac{{a\sqrt 3 \cdot 2\sqrt 2 a}}{{\sqrt {3{a^2} + 8{a^2}} }} = \frac{{2a\sqrt {66} }}{{11}}$.

Vậy $d(M;(SBC)) = \frac{{a\sqrt {66} }}{{11}}$.

Đáp án cần chọn là: D