Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình chữ nhật
16/22
Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình chữ nhật,\(AB = 1,\;BC = \sqrt 3 ,\;SA = 1\) và \(SA\) vuông góc với mặt đáy. Đặt hệ trục tọa độ như hình vẽ sau:
Tọa độ các điểm \(B,C\) là \(B\left( {1;\;0;\;0} \right),C\left( {1;\;\sqrt 3 ;\;0} \right)\) .
Một vectơ chỉ phương của đường thẳng \(SB\) là \(\overrightarrow u = \left( {1;\; - 1;\;1} \right)\).
Một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng \(\left( {SBD} \right)\) là \(\overrightarrow n = \left( {\sqrt 3 ;\;1;\;\sqrt 3 } \right)\).
Gọi \(\alpha \) là góc giữa hai đường thẳng \(BD\) và \(\left( {SBC} \right)\). Khi đó \(\sin \alpha = \frac{{\sqrt 2 }}{4}\).
a) Đ | b) S | c) Đ | d) Đ |
Ta có:\(A\left( {0;\;0;\;0} \right),B\left( {1;\;0;\;0} \right),C\left( {1;\;\sqrt 3 ;\;0} \right),D\left( {0;\;\sqrt 3 ;\;0} \right),S\left( {0;\;0;\;1} \right)\)
* Phương án a) đúng: \(B\left( {1;\;0;\;0} \right),C\left( {1;\;\sqrt 3 ;\;0} \right)\)
* Phương án b) sai: Đường thẳng \[SB\] có vectơ chỉ phương là \(\overrightarrow {SB} = \left( {1;\;0;\; - 1} \right)\)
* Phương án c) đúng:
Ta có \(\overrightarrow {SB} = \left( {1;\;0;\; - 1} \right),\)\(\overrightarrow {BD} = \left( { - 1;\;\sqrt 3 ;\;0} \right)\)\[ \Rightarrow \left[ {\overrightarrow {SB} ,\overrightarrow {BD} } \right] = \left( {\sqrt 3 ;\;1;\;\sqrt 3 } \right)\]
Vậy mặt phẳng \(\left( {SBD} \right)\) có một vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow n = \left( {\sqrt 3 ;\;1;\;\sqrt 3 } \right)\).
* Phương án d) đúng:
Ta có \(\overrightarrow {SB} = \left( {1;\;0;\; - 1} \right),\)\[\overrightarrow {BC} = \left( {0;\;\sqrt 3 ;\;0} \right)\]\[ \Rightarrow \left[ {\overrightarrow {SB} ,\overrightarrow {BC} } \right] = \left( {\sqrt 3 ;\;0;\;\sqrt 3 } \right).\] Suy ra mặt phẳng \(\left( {SBC} \right)\) có một vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow n = \left( {1;\;0;\;1} \right)\).
Đường thẳng \[BD\] có vectơ chỉ phương là \(\overrightarrow u = \overrightarrow {BD} = \left( { - 1;\;\sqrt 3 ;\;0} \right)\)
Ta có \(\sin \alpha = \frac{{\left| {\overrightarrow {u.} \overrightarrow n } \right|}}{{\left| {\overrightarrow u } \right|.\left| {\overrightarrow n } \right|}} = \frac{1}{{2.\sqrt 2 }} = \frac{{\sqrt 2 }}{4}\)