Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật. Gọi M, N theo thứ tự là trọng tâm tam giác SAB và tam giác SCD. Khi đó MN song song với mặt phẳng nào sau đây?

8/22

Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình chữ nhật (tham khảo hình bên dưới). Gọi $M,N$ theo thứ tự là trọng tâm tam giác $SAB$ và tam giác $SCD$. Khi đó $MN$ song song với mặt phẳng nào sau đây? $Vì $MN\parallel IJ$ và \(IJ\parallel (A (ảnh 1)$

$(ABCD)$.

$(SAB)$.

$(SAC)$.

$(SBD)$.

Giải thích

Chọn A

$Vì $MN\parallel IJ$ và \(IJ\parallel (A (ảnh 2)$

Gọi $I$ là trung điểm của $AB$. Vì $M$ là trọng tâm tam giác $SAB$, nên $M$ nằm trên đường trung tuyến $SI$ và $SM = \frac{2}{3}SI$.

Gọi $J$ là trung điểm của $CD$. Vì $N$ là trọng tâm tam giác $SCD$, nên $N$ nằm trên đường trung tuyến $SJ$ và $SN = \frac{2}{3}SJ$.

Xét tam giác $SIJ$, ta có $\frac{{SM}}{{SI}} = \frac{{SN}}{{SJ}} = \frac{2}{3}$.

Theo định lý Thales đảo, suy ra $MN\parallel IJ$.

Vì $ABCD$ là hình chữ nhật nên $AB\parallel CD$.

$I$ là trung điểm của $AB$, $J$ là trung điểm của $CD$.

Do đó, $IJ\parallel AD$ và $IJ\parallel BC$.

Vì $IJ\parallel AD$ và $AD$ nằm trong mặt phẳng $(ABCD)$, nên $IJ\parallel (ABCD)$.

Vì $MN\parallel IJ$ và $IJ\parallel (ABCD)$, suy ra $MN\parallel (ABCD)$.