Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, cạnh bên SA vuông góc với mặt đáy. Biết SA = 2,AB = căn bậc hai 2 ,AC = căn bậc hai 3 . Gọi O là giao điểm 2 đường chéo AC và BD. Khi đó, cá

Lời giải

a) Sai

Ta có \(\left\{ \begin{array}{l}AD//BC\\AD \not\subset (SBC)\end{array} \right.\)suy ra \(AD//(SBC)\) do đó \(d(D,(SBC)) = d(A,(SBC))\) (1)

Kẻ đường cao \(AH\) của tam giác \(SAB\) suy ra \(AH \bot SB\) (hình vẽ) (2)

Theo giả thiết \(\left\{ \begin{array}{l}BC \bot AB\\BC \bot SA(doSA \bot (ABCD))\end{array} \right. \Rightarrow BC \bot (SAB) \Rightarrow BC \bot AH\)(3)

Từ (2) và (3) suy ra \(AH \bot (SBC)\)\( \Rightarrow d(A,(SBC)) = AH\)\( \Rightarrow d(D,(SBC)) = AH\)

Xét \(\Delta SAB\) ta có \[AH = \frac{{SA.AB}}{{\sqrt {S{A^2} + A{B^2}} }} = \frac{{2\sqrt 2 }}{{\sqrt 6 }} = \frac{{2\sqrt 3 }}{3}\]

Vậy \(d(D,(SBC)) = \frac{{2\sqrt 3 }}{3}\)

b) Đúng

Theo a) ta có \(AD//(SBC)\)

c) Sai

Ta có \((SC,(ABCD)) = (SC,AC) = \widehat {SCA}\)

Xét \(\Delta SAC\) ta có \(\tan \widehat {SCA} = \frac{{SA}}{{AC}} = \frac{2}{{\sqrt 3 }}\)

d) Đúng

Ta có \(BC = \sqrt {A{C^2} - A{B^2}}  = \sqrt {3 - 2}  = 1\)\( \Rightarrow AD = BC = 1\)

Ta cũng có \(AB//(SDC) \Rightarrow d(AB,SD) = d(AB,(SDC)) = d(A,(SDC))\)(4)

Kẻ đường cao \(AI\)của \(\Delta SAD\)\( \Rightarrow AI \bot SD\)(5)

Mà \(\left\{ \begin{array}{l}CD \bot AD\\CD \bot SA\end{array} \right. \Rightarrow CD \bot (SAD) \Rightarrow CD \bot AI\)(6)

Từ (5) và (6) suy ra \(AI \bot (SDC) \Rightarrow d(A,(SDC)) = AI\)

Xét \(\Delta SAD\) ta có \(AI = \frac{{SA.AD}}{{\sqrt {S{A^2} + A{D^2}} }} = \frac{2}{{\sqrt 5 }} = \frac{{2\sqrt 5 }}{5}\)(7)

Từ (4) và (7) suy ra \(d(AB,SD) = AI = \frac{{2\sqrt 5 }}{5}\).