Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật AB = căn bậc 2 của 2 a, AD = 2a, , SA vuông góc với đáy
37/50
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật AB=2a, AD=2a, SA vuông góc với đáy và SA=2a. Gọi M và N lần lượt là trung điểm của SB và AD (tham khảo hình vẽ). Tính cosin của góc giữa đường thẳng MN và mặt phẳng SAC?
36
33
63
13
Đáp án B
Cách 1: Gọi P,Q lần lượt là trung điểm của AB, BC khi đó MPQ//SAC⇒MN,SAC=MN,MPQ
Gọi H là hình chiếu vuông góc của N trên PQ ⇒NH⊥MPQ
Suy ra: MN,MPQ=NMH^
Ta có: NH=2SNPQPQ=2.14SABCSAC2=SABCDAC=AB.BCAB2+BC2=a2.2aa6=2a3MN=AM2+AN2=a2+a2=a2
Suy ra: MH=MN2−NH2=a22−2a32=6a3
Suy ra cosNMP^=MHMN=a63:a2=33
Cách 2: Ta gắn hệ trục tọa độ như hình vẽ và cho a = 1.
Khi đó: A0;0;0, B2;0;0, C2;2;0, D0;2;0, S0;0;2
⇒M22;0;22N0;1;0⇒NM→=22;−1;22
Có AC→=2;2;0AS→=0;0;2⇒AC→,AS→=22;−2;0⇒nSAC→=2;−1;0
Suy ra sinMN,SAC=uMN→.nSAC→uMN→.nSAC→=2223=63
⇒cosMN,SAC=1−632=33
