Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, AB = a, AD = căn bậc hai 2 a , góc giữa hai

Đáp án C

Phương pháp:

+) Gọi I là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác AHC và E là trung điểm của BC.

+) Qua I dựng đường thẳng song song với SH, qua E dựng đường thẳng song song với IH, hai đường thẳng này cắt nhau tại O => O là tâm mặt cầu ngoại tiếp chóp S.AHC. O

+) Tính IH, sử dụng công thức R=abc4S với a, b, c là ba cạnh của tam giác AHC, S là diện tích tam giác AHC, R là bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác AHC.

+) Tính HE.

+) Sử dụng định lí Pytago tính OH.

Cách giải:  

Kẻ HK vuông góc AB tại K, gọi I là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác AHC, E là trung điểm của SH.

Ta có: H là trung điểm của AB, tam giác SAB cân tại S ⇒SH⊥AB 

Mà SAB nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy ⇒SH⊥ABCD 

ΔAHK đồng dạng ΔACB (g.g)

⇒AHAC=HKBC⇔a2a2+2a2=HK2a⇔HK=a6 

Ta có: HK⊥AC,   SH⊥AC⇒AC⊥SHK⇒AC⊥SK 

⇒SAC;ABCD=SKH^=600 

ΔSKH vuông tại H, SKH^=600⇒SH=HK.tan600=a6.3=a2⇒EH=a22 

Ta có: SΔAHC=12SΔABC=12.12.SABCD=SABCD4=a224 

I là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác AHB

⇒IH=R=AH.HC.AC4SΔAHC=a2.a22+2a2.a2+2a24.a224=a2.3a2.3aa22=33a42 

Tứ giác OEHI là hình chữ nhật

⇒OH=IH2+EH2=32a422+a222=27a232+a28=62a8 

Vậy, bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.HAC là 62a8