Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật AB = a, AD = a căn bậc hai của 3. Cạnh bên SA vuông góc với đáy và SA = 2a. Những phương án nào dưới đây đúng?

30/40

Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình chữ nhật $AB = a,AD = a\sqrt 3 $. Cạnh bên $SA$ vuông góc với đáy và $SA = 2a$. Những phương án nào dưới đây đúng?

Chọn tất cả các đáp án đúng (MSQ)

1.$SA$ là đường cao của hình chóp.

2. Khoảng cách từ điểm $A$ đến mặt phẳng $\left( {SCD} \right)$ bằng $a\sqrt 3 $.

3. Thể tích khối chóp $S.ABCD$ là $\frac{{{a^3}\sqrt 3 }}{3}$.

4. Góc giữa hai đường thẳng $SB$ và $AC$ lớn hơn $75^\circ $.

5. Khoảng cách từ điểm $C$ đến mặt phẳng $\left( {SBD} \right)$ bằng $\frac{{2a\sqrt {57} }}{{19}}$.

Giải thích

$5. Khoảng cách từ điểm $C$ đến mặt phẳng $\left( {SBD} \right)$ bằng $\frac{{2a\sqrt {57} }}{{19}}$. (ảnh 1)$

1. Đúng. Ta có $SA \bot \left( {ABCD} \right)$ nên suy ra $SA$ là đường cao của hình chóp.

2. Sai. Kẻ $AH \bot SD\left( {H \in SD} \right)$.

Ta có $SA \bot \left( {ABCD} \right),CD \subset \left( {ABCD} \right) \Rightarrow SA \bot CD$.

Mà $AD \bot CD$ nên $CD \bot \left( {SAD} \right) \Rightarrow CD \bot AH$.

Lại có $SD \bot AH \Rightarrow AH \bot \left( {SCD} \right) \Rightarrow AH = d\left( {A,\left( {SCD} \right)} \right)$.

Ta có $AH = \frac{{SA \cdot AD}}{{\sqrt {S{A^2} + A{D^2}} }} = \frac{{2a \cdot a\sqrt 3 }}{{\sqrt {4{a^2} + 3{a^2}} }} = \frac{{2a\sqrt {21} }}{7}$.

3. Sai. Vì $SA \bot \left( {ABCD} \right)$ nên ${V_{S.ABCD}} = \frac{1}{3} \cdot SA \cdot {S_{ABCD}} = \frac{1}{3} \cdot 2a \cdot {a^2}\sqrt 3 = \frac{{2{a^3}\sqrt 3 }}{3}$.

4. Đúng. Có $\cos \left( {SB,AC} \right) = \frac{{\left| {\overrightarrow {SB} \cdot \overrightarrow {AC} } \right|}}{{SB \cdot AC}}$.

Ta có $\overrightarrow {SB} \cdot \overrightarrow {AC} = \left( {\overrightarrow {AB} - \overrightarrow {AS} } \right) \cdot \overrightarrow {AB} = A{B^2} - \overrightarrow {AS} \cdot \overrightarrow {AB} = A{B^2} = {a^2}$.

Suy ra $\cos \left( {SB,AC} \right) = \frac{{\left| {{a^2}} \right|}}{{a\sqrt 5 \cdot 2a}} = \frac{1}{{2\sqrt 5 }}$. Khi đó $\left( {SB,AC} \right) \approx 77,4^\circ $.

5. Đúng.

$5. Khoảng cách từ điểm $C$ đến mặt phẳng $\left( {SBD} \right)$ bằng $\frac{{2a\sqrt {57} }}{{19}}$. (ảnh 2)$

Gọi K là hình chiếu của $A$lên $BD$, $J$là hình chiếu của $A$lên $SK$.

Có tam giác $ABD$ vuông tại $A$, $AK \bot BD$. Khi đó:

$\frac{1}{{A{K^2}}} = \frac{1}{{A{B^2}}} + \frac{1}{{A{D^2}}} = \frac{1}{{{a^2}}} + \frac{1}{{{{\left( {a\sqrt 3 } \right)}^2}}} \Rightarrow AK = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}$.

Xét tam giác $SAK$ vuông tại $A$ có $AJ \bot SK$. Khi đó:

$\frac{1}{{A{J^2}}} = \frac{1}{{A{K^2}}} + \frac{1}{{S{A^2}}} = \frac{1}{{{{\left( {\frac{{a\sqrt 3 }}{2}} \right)}^2}}} + \frac{1}{{{{\left( {2a} \right)}^2}}} \Rightarrow AJ = \frac{{2a\sqrt {57} }}{{19}}$.

Gọi $O = AC \cap \left( {SBD} \right) \Rightarrow \frac{{AO}}{{CO}} = \frac{{d\left( {A,\left( {SBD} \right)} \right)}}{{d\left( {C,\left( {SBD} \right)} \right)}}$.

Mà $ABCD$ là hình chữ nhật nên $O$ là trung điểm $AC$.

Suy ra $\frac{{AO}}{{CO}} = 1 \Rightarrow d\left( {A,\left( {SBD} \right)} \right) = d\left( {C,\left( {SBD} \right)} \right) = \frac{{2a\sqrt {57} }}{{19}}$. Chọn 1, 4, 5.