Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành tâm O. Gọi các điểm I, T lần lượt là trung điểm của SB và SC. a) Xác định giao tuyến của (IAC) và (SBD).

18/18

(2 điểm). Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình bình hành tâm $O$. Gọi các điểm $I,T$ lần lượt là trung điểm của $SB$ và $SC$.

a) Xác định giao tuyến của $\left( {IAC} \right)$ và $\left( {SBD} \right)$.

b) Xác định giao tuyến của $\left( {IAC} \right)$ và $\left( {SCD} \right)$.

c) Chứng minh $IT{\rm{//}}AD$.

d) Xác định giao điểm của $AI$ và $\left( {BDT} \right)$.

Nhập câu trả lời ở đây

0/3000 ký tự

Giải thích

$Ta có tính chất của hàm số cosin: \( (ảnh 1)$

a) Giao tuyến của $\left( {IAC} \right)$ và $\left( {SBD} \right)$:

Xét hai mặt phẳng $\left( {IAC} \right)$ và $\left( {SBD} \right)$, ta có:

Điểm $I$ là trung điểm của $SB \Rightarrow I \in SB \subset \left( {SBD} \right)$. Mà $I \in \left( {IAC} \right)$ nên $I$ là điểm chung thứ nhất.

Trong mặt phẳng đáy $\left( {ABCD} \right)$, có $O$ là tâm hình bình hành $ \Rightarrow O = AC \cap BD$.

Vì $O \in AC \subset \left( {IAC} \right)$ và $O \in BD \subset \left( {SBD} \right)$ nên $O$ là điểm chung thứ hai.

Vậy giao tuyến của hai mặt phẳng $\left( {IAC} \right)$ và $\left( {SBD} \right)$ là đường thẳng $IO$.

b) Giao tuyến của $\left( {IAC} \right)$ và $\left( {SCD} \right)$:

Điểm $C$ thuộc cạnh $SC \subset \left( {SCD} \right)$ và đồng thời $C \in \left( {IAC} \right)$ nên $C$ là điểm chung của hai mặt phẳng $\left( {IAC} \right)$ và $\left( {SCD} \right)$.

Xét tam giác $SBD$, ta có $I$ là trung điểm của $SB$, $O$ là trung điểm của $BD$ (do $ABCD$ là hình bình hành tâm $O$).

Suy ra $IO$ là đường trung bình của tam giác $SBD \Rightarrow IO{\rm{//}}SD$.

Hai mặt phẳng $\left( {IAC} \right)$ và $\left( {SCD} \right)$ lần lượt chứa hai đường thẳng song song là $IO$ (thuộc $\left( {IAC} \right)$) và $SD$ (thuộc \[\left( {SCD} \right)\]), đồng thời chúng có điểm chung là $C$.

Theo tính chất giao tuyến, giao tuyến của hai mặt phẳng này là đường thẳng $d$ đi qua $C$ và song song với cả $IO$ và $SD$.

c) Chứng minh $IT{\rm{//}}AD$

Xét trong tam giác $SBC$, ta có $I$ và $T$ lần lượt là trung điểm của hai cạnh $SB$ và $SC$.

Suy ra $IT$ là đường trung bình của .

Do đáy $ABCD$ là hình bình hành nên ta có $BC{\rm{//}}AD$.

Từ đó suy ra $IT{\rm{//}}AD$ (đpcm).

d) Giao điểm của $AI$ và $\left( {BDT} \right)$

Trong mặt phẳng đáy $\left( {ABCD} \right)$, gọi $O = AC \cap BD$.

Xét tam giác $SAC$, vì $O$ và $T$ lần lượt là trung điểm của $AC$ và $SC$ nên $TO$ là đường trung bình của .

Xét hai mặt phẳng $\left( {SAB} \right)$ và $\left( {BDT} \right)$ có $B$ là điểm chung, lần lượt chứa hai đường thẳng $SA$ và $TO$ song song với nhau. Do đó, giao tuyến của $\left( {SAB} \right)$ và $\left( {BDT} \right)$ là đường thẳng $Bx$ đi qua $B$ và $Bx{\rm{//}}SA{\rm{//}}TO$.

Chọn mặt phẳng phụ $\left( {SAB} \right)$ chứa $AI$. Trong mặt phẳng $\left( {SAB} \right)$, gọi $K$ là giao điểm của $AI$ và $Bx$ ($K = AI \cap Bx$).

Ta có:

$K \in AI$;

$K \in Bx$, mà $Bx \subset \left( {BDT} \right) \Rightarrow K \in \left( {BDT} \right)$.

Vậy $K$ chính là giao điểm của đường thẳng $AI$ và mặt phẳng $\left( {BDT} \right)$.