Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Mặt bên ASB là tam giác vuông cân tại S và có cạnh AB=a

a) Vì ABCD là hình bình hành nên \(AB//CD\). Gọi \(E\) là điểm thuộc tia $A B$ sao cho \(\overrightarrow {BE}  = \overrightarrow {DC} \).

Ta có:

\((\overrightarrow {DC} ,\overrightarrow {BS} ) = (\overrightarrow {BE} ,\overrightarrow {BS} ) = \widehat {EBS}{\rm{. }}\) vuông cân (tại \(S\) ) nên SBA^=45°

Suy ra EBS^=180°−45°=135°, hay (DC→,BS→)=135°.

Mặt khác, do \(AB = a\) nên \(AS = BS = \frac{{a\sqrt 2 }}{2}\).

Từ đó ta có: DC→⋅BS→ =|DC→|⋅|BS→|⋅cos(DC→,BS→)=a⋅a22⋅cos135°=a222−22.

Vậy DC→⋅BS→=−a22

b) DC→⋅AS→=AB→⋅AS→=|AB→|⋅|AS→|⋅cos(AB→,AS→)=a⋅a22⋅cos45°=a22.

c) Tam giác ASB cân tại \(S\) và \(M\) là trung điểm của cạnh $A B$ nên \(SM \bot AB\), hay \(\overrightarrow {MS}  \bot \overrightarrow {AB} \). Suy ra \(\overrightarrow {DC}  \cdot \overrightarrow {MS}  = \overrightarrow {AB}  \cdot \overrightarrow {MS}  = 0\).