Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi lần lượt là trung điểm của các cạnh . Điểm I thuộc .

Đặt SISA=x(0<x<1).

Trong (ABCD) kéo dài MN cắt AD,CD lần lượt tại P,Q.

Trong (SAD) kéo dài MN cắt SD tại E.

Trong (SCD) nối QE cắt SC tại J.

Khi đó (IMN) cắt hình chóp theo thiết diện là IMNJE.

Mặt phẳng (IMN) chia khối chóp thành hai phần, gọi V1 là phần thể tích chứa đỉnh S và V=VS.ABCD.

Khi đó ta có V1V=720.

Ta có: V1=VS.BMN+VS.MNI+VS.INJ+VIJE.

+) VS.BMNV=SBMNSABCD=12.BMBA.BNBC=18 ⇒VS.BMN=V8.

+) VS.MNIVS.MNA=SISA=x⇒VS.MNI=xVS.MNA

VS.MNAV=SMNASABCD=12SABNSABCD=18⇒VS.MNA=18V

⇒VS.MNI=x8V.

+) VS.INJVS.ANC=SISA.SJSC

Ta có: {(IMN)∩(SAC)=IJ(IMN)∩(ABCD)=MN(SAC)∩(ABCD)=AC, lại có MN//AC (do MN là đường trung bình của tam giác ABC)

⇒IJ//MN⇒SISA=SJSC=x.

⇒VS.INJVS.ANC=SISA.SJSC=x2⇒VS.INJ=x2VS.ANC.

VS.ANCV=SANCSABCD=12SABCABCD=14⇒VS.INJ=x24V.

+) VS.ANCV=SANCSABCD=12SABCABCD=14⇒VS.INJ=x24V.

Dễ dàng chứng minh được ΔBMN=ΔCQN(g.c.g)⇒BM=CQ=12CD.

⇒DQ=3CQ=3AM⇒AMDQ=PAPD=13.

Áp dụng định lí Menelaus trong tam giác SAD ta có:

PAPD.EDES.ISIA=1⇒13.EDES.x1−x=1⇔EDES=3(1−x)x

⇒ED+ESES=3−2xx⇒SESD=x3−2x

⇒VS.IJEVS.ACD=x2SESD=x2.x3−2x=x33−2x

Mà VS.ACD=12V⇒VS.IJE=x36−4xV.

Khi đó ta có: V1=VS.BMN+VS.MNI+VS.INJ+VIJE

=V8+x8V+x24V+x36−4xV

=(18+x8+x24+x36−4x)V

⇒18+x8+x24+x36−4x=720

Thử đáp án:

Đáp án A: k=IAIS=12⇒x=SISA=23 ⇒ Loại.

Đáp án B: k=IAIS=23⇒SISA=35⇒ Thỏa mãn.

Đáp án B