Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi G là trọng tâm tam giác BCD, M, N lần lượt thuộc các cạnh BC, SC sao cho BM/BC = SN/SC = 1/3. a) Chứng minh (GMN) song song với (SBD).

a) Gọi \(O\) là giao điểm của \(AC\) và \(BD\). Khi đó \(CO\) là đường trung tuyến của .

Vì \(G\) là trọng tâm nên: \(\frac{{CG}}{{CO}} = \frac{2}{3}\).

Mặt khác, \(M \in BC\) sao cho \(\frac{{BM}}{{BC}} = \frac{1}{3} \Rightarrow \frac{{CM}}{{CB}} = \frac{2}{3}\).

Trong , ta có: \(\frac{{CG}}{{CO}} = \frac{{CM}}{{CB}} = \frac{2}{3} \Rightarrow GM{\rm{//}}BO \Rightarrow GM{\rm{//}}BD\).

Vì \(BD \subset \left( {SBD} \right)\) nên \(GM{\rm{//}}\left( {SBD} \right)\)\(\left( 1 \right)\).

Tương tự, \(N \in SC\) sao cho \(\frac{{SN}}{{SC}} = \frac{1}{3} \Rightarrow \frac{{CN}}{{CS}} = \frac{2}{3}\).

Trong , ta có: \(\frac{{CN}}{{CS}} = \frac{{CM}}{{CB}} = \frac{2}{3} \Rightarrow MN{\rm{//}}SB\).

Vì \(SB \subset \left( {SBD} \right)\) nên \(MN{\rm{//}}\left( {SBD} \right)\)\(\left( 2 \right)\).

Từ \(\left( 1 \right)\) và \(\left( 2 \right)\), vì \(GM \cap MN = M\) và cùng nằm trong \(\left( {GMN} \right)\), suy ra: \(\left( {GMN} \right){\rm{//}}\left( {SBD} \right)\).

b) Xét hai mặt phẳng \(\left( {SDC} \right)\) và \(\left( {GMN} \right)\):

Điểm \(N \in SC \subset \left( {SDC} \right)\) và \(N \in \left( {GMN} \right)\), nên \(N\) là một điểm chung.

Trong tam giác \(BCD\), kéo dài \[MG\] cắt \[CD\] tại \[K\].

Khi đó \(K \in MG \subset \left( {GMN} \right)\) và \(K \in CD \subset \left( {SDC} \right)\), nên \(K\) là điểm chung thứ hai.

Do đó, giao tuyến của \(\left( {SDC} \right)\) và \(\left( {GMN} \right)\) là đường thẳng \(NK\).

Hơn nữa \(SD \subset \left( {SDC} \right)\) và \(\left( {GMN} \right){\rm{//}}\left( {SBD} \right) \Rightarrow \left( {GMN} \right){\rm{//}}SD\).

Vậy giao tuyến của \(\left( {SDC} \right)\) và \(\left( {GMN} \right)\) là đường thẳng \(NK\) song song với \(SD\).