Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình

50/50

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a,SA vuông góc với mặt đáy (ABCD) và góc giữa SC với mặt phẳng (SAB) bằng 300. Gọi M là điểm di động trên cạnh CD và H là hình chiếu vuông góc của S lên đường thẳng BM. Khi M di động trên CD thì thể tích khối chóp S.ABH lớn nhất là

V=a326.

V=a3212.

V=a3215.

V=a328.

Giải thích

Chọn B.

Theo bài SA⊥ABH⇒VS.ABH=13SA.SABH. Nên VS.ABH lớn nhất khi SABH lớn nhất.

Ta có BC⊥ABBC⊥SA⇒BC⊥SAB⇒SC,SAB^=CSB^=300

Xét ΔSBC vuông tại B ta có tanCBS^=tan300=BCSB⇒SB=a3.

Xét ΔSAB vuông tại A ta có SB2=SA2+AB2⇒SA=a2.

Mặt khác BM⊥SHBM⊥SA⇒BM⊥SAH⇒BM⊥AH⇒BH⊥AH nên ΔABH vuông tại H.

Gọi x,y là độ dài hai cạnh góc vuông của tam giác ΔABH có cạnh huyền là a,0<x<a và 0<y<a. Diện tích ΔABH là S=12xy. Ta có x2+y2=a2.

SABH lớn nhất khi và chỉ khi x2y2=x2a2−x2 đạt giá trị lớn nhất.

Suy ra SABH=a24 lớn nhất khi x=y=a22. Vậy VS.ABH=a3212 lớn nhất