Cho hình chóp \(S.ABCD\) có cạnh bên \(SA\) vuông góc với đáy; tứ giác \(ABCD\) là hình vuông
22/22
Cho hình chóp \(S.ABCD\) có cạnh bên \(SA\) vuông góc với đáy; tứ giác \(ABCD\) là hình vuông; \(SA = 3;\;AB = 2\) . Bằng cách thiết lập hệ trục tọa độ \(Oxyz\) như hình vẽ, tính khoảng cánh từ điểm \(A\) đến mặt phẳng \(\left( {SCD} \right)\). (làm tròn đến hàng phần trăm)
Trong hệ trục tọa độ như hình vẽ ta có
\(A(0;0;0);\;C(2;2;0);\;D\left( {0;2;0} \right);\;S(0;0;3)\).
Mặt phẳng \(\left( {SCD} \right)\) có cặp vectơ chỉ phương \(\left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {SC} = \left( { - 2; - 2;3} \right)\\\overrightarrow {SD} = \left( {0; - 2;3} \right)\end{array} \right.\).
Do đó, mặt phẳng \(\left( {SCD} \right)\) có vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow n = \left[ {\overrightarrow {SC} ;\overrightarrow {SD} } \right] = \left( {0;6;4} \right)\).
Phương trình mặt phẳng \(\left( {SBC} \right)\) là: \(0\left( {x - 0} \right) + 6\left( {y - 0} \right) + 4\left( {z - 3} \right) = 0 \Leftrightarrow 3y + 2z - 6 = 0\).
Vậy \[{d_{\left( {A,\left( {SCD} \right)} \right)}} = \frac{{\left| {3.0 + 2.0 - 6} \right|}}{{\sqrt {{3^2} + {2^2}} }} = \frac{{6\sqrt {13} }}{{13}}\].