Cho hình chóp \(S.ABCD\) có cạnh bên \(SA\) vuông góc với đáy; tứ giác
21/22
Cho hình chóp \(S.ABCD\) có cạnh bên \(SA\) vuông góc với đáy; tứ giác \(ABCD\) là hình vuông; \(SA = AB = 3\) . Bằng cách thiết lập hệ trục tọa độ \(Oxyz\) như hình vẽ, phương trình mặt phẳng \(\left( {SBC} \right)\) có dạng: \[x + by + cz + d = 0\]. Tính \[{b^2} + {c^2} + {d^2}\].
Trong hệ trục tọa độ như hình vẽ ta có
\(B(3;0;0);\;C(3;3;0);\;S(0;0;3)\).
Mặt phẳng \(\left( {SBC} \right)\) có cặp vectơ chỉ phương \(\left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {SB} = \left( { - 3;0;3} \right)\\\overrightarrow {SC} = \left( { - 3; - 3;3} \right)\end{array} \right.\).
Do đó, mặt phẳng \(\left( {SBC} \right)\) có vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow n = \left[ {\overrightarrow {SB} ;\overrightarrow {SC} } \right] = \left( {9;0;9} \right)\).
Phương trình mặt phẳng \(\left( {SBC} \right)\) là: \(9\left( {x - 3} \right) + 9\left( {z - 0} \right) = 0 \Leftrightarrow x + z - 3 = 0\).
Vậy \[{b^2} + {c^2} + {d^2} = {0^2} + {1^2} + {\left( { - 3} \right)^2}.\]