Cho hình chóp S.ABCD có ABCD là hình thang vuông tại A và D, AB = AD = a, CD = 2a. Hình chiếu của S lên mặt phẳng (ABCD) trùng với trung điểm của BD. Biết thể tích tứ diện SBCD bằng a^3/ căn

Lời giảiChọn D

Gọi \[M\]là trung điểm \[CD\], ABMD là hình vuông cạnh bằng 1\(BM = \frac{1}{2}DC\),tam giác BCD vuông cân tại B.Ta có: \(BC \bot SB\)( vì\(BC \bot BD,\)\(BC \bot SO\))\[\]\[d(A,(SBC)) = \frac{{3{V_{SABC}}}}{{{S_{\Delta SBC}}}} = \frac{{3.\frac{1}{3}SO.({S_{ABCD}} - {S_{\Delta ADC}})}}{{\frac{1}{2}SB.BC}} = \]\(\frac{{a\sqrt 6 }}{4}\).Cách 2.Chọn DGọi \[M\]là trung điểm của \[CD\], \[H\]là trung điểm của \[BD\].\[\Delta BCD\] có \[BM = \frac{1}{2}DC \Rightarrow \Delta BCD\] vuông tại \[B\]

\[BD = a\sqrt 2 ,BC = \sqrt {D{C^2} - B{D^2}} = \sqrt {4{a^2} - 2{a^2}} = a\sqrt 2 \Rightarrow {S_{\Delta BCD}} = \frac{1}{2}.BD.BC = {a^2}\]\[{V_{SBCD}} = \frac{1}{3}.SH.{S_{\Delta BCD}} \Rightarrow SH = \frac{{3{V_{SBCD}}}}{{{S_{\Delta BCD}}}} = \frac{{3.{a^3}}}{{\sqrt 6 {a^2}}} = \frac{{\sqrt 6 a}}{2}\]+) Ta có \[AH//\left( {SBC} \right) \Rightarrow d\left( {A,\left( {SBC} \right)} \right) = d\left( {H,\left( {SBC} \right)} \right)\]+) Kẻ \[HK \bot SB\]\[\left. \begin{array}{l}BC \bot SH\\BC \bot BD\end{array} \right\} \Rightarrow BC \bot \left( {SHB} \right) \Rightarrow BC \bot HK\]Do đó \[HK \bot \left( {SBC} \right) \Rightarrow d\left( {H,\left( {SBC} \right)} \right) = HK\]

\[\Delta SHB\] có: \[\frac{1}{{H{K^2}}} = \frac{1}{{S{H^2}}} + \frac{1}{{H{B^2}}} = \frac{4}{{6{a^2}}} + \frac{4}{{2{a^2}}} = \frac{{16}}{{6{a^2}}}\]\[ \Rightarrow HK = \frac{{\sqrt 6 a}}{4} = d\left( {A,\left( {SBC} \right)} \right)\]