Cho hình chóp S.ABCD có ABCD là hình chữ nhật, tam giác SAB đều và mặt phẳng (SAB) vuông góc với mặt phẳng (ABCD), AB = a,AD = 2a. H là trung điểm AB

Lời giải

a) Ta có \[\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\left( {SAB} \right) \bot \left( {ABC} \right)}\\{\left( {SAB} \right) \cap \left( {ABC} \right) = AB}\\{SH \bot AB}\end{array}} \right. \Rightarrow SH \bot \left( {ABC} \right)\].

\[{S_{ABCD}} = AB.AD = 2{a^2}\].

\[SH = \frac{{AB\sqrt 3 }}{2} = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}.\]

Vậy \[{V_{S.ABCD}} = \frac{1}{3}.SH.{S_{ABCD}} = \frac{1}{3}.2{a^2}.\frac{{a\sqrt 3 }}{2} = \frac{{{a^3}\sqrt 3 }}{3}.\] Do đó câu a) sai.

b) Gọi  \[I\] là trung điểm \[CD\]. Kẻ \[HK \bot SI\,\,\,\,\,\left( 1 \right)\].

\[\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{CD \bot HI}\\{CD \bot SH}\end{array}} \right. \Rightarrow CD \bot \left( {SHI} \right) \Rightarrow HK \bot CD\,\,\,\,\left( 2 \right)\].

Từ \[\left( 1 \right),\left( 2 \right) \Rightarrow HK \bot \left( {SCD} \right).\]

Do đó, \[d\left( {H,\left( {SCD} \right)} \right) = HK = \frac{{SH.HI}}{{\sqrt {S{H^2} + H{I^2}} }} = \frac{{\frac{{a\sqrt 3 }}{2}.2a}}{{\sqrt {\frac{3}{4}{a^2} + 4{a^2}} }} = \frac{{2\sqrt {57} }}{{19}}a\]. Vậy câu b)  đúng.

c) Ta có: \[\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{AB \bot BC}\\{SH \bot BC}\end{array}} \right. \Rightarrow BC \bot \left( {SAB} \right) \Rightarrow BC \bot SB\].

Mặt khác \[BC \bot AB\]

Do đó: \[\left[ {S,BC,D} \right] = \left( {SB,AB} \right) = \widehat {SBA} = 60^\circ .\] Vậy câu c)  đúng.

d) Theo chứng minh trên: \[SH \bot \left( {ABC} \right)\]. Do đó câu d) sai.