Cho hình chóp S.ABC. Trên đoạn SA lấy M sao cho vectơ MS = -2 vectơ MA và trên đoạn BC lấy điểm N sao cho vectơ NB = -1/2 vectơ NC. Biết vectơ MN = 2a vectơ AB + 1a vectơ SC. Tìm a.

Hướng dẫn giải:

Đáp án: 3

Ta có \(\overrightarrow {MN} = \overrightarrow {MA} + \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BN} \) (1); \(\overrightarrow {MN} = \overrightarrow {MS} + \overrightarrow {SC} + \overrightarrow {CN} \) (2).

Nhân cả hai vế của (1) với 2 rồi cộng với (2), ta được

\(3\overrightarrow {MN} = \left( {2\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MS} } \right) + \left( {2\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {SC} } \right) + \left( {2\overrightarrow {BN} + \overrightarrow {CN} } \right)\).

Do \(\overrightarrow {MS} = - 2\overrightarrow {MA} \) và \(\overrightarrow {NB} = - \frac{1}{2}\overrightarrow {NC} \) nên \[\left\{ \begin{array}{l}2\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MS} = \overrightarrow 0 \\2\overrightarrow {BN} + \overrightarrow {CN} = \overrightarrow 0 \end{array} \right.\].

Suy ra \(3\overrightarrow {MN} = 2\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {SC} \). Do đó \[\overrightarrow {MN} = \frac{2}{3}\overrightarrow {AB} + \frac{1}{3}\overrightarrow {SC} \]. Vậy a = 3.