Cho hình chóp S.ABC. Lấy các điểm A', B', C' lần lượt thuộc các tia SA, Sb, SC sao cho SA = a.SA', SB = b.SB'

Từ giả thiết ta suy ra SA→=a.SA'→,SB→=b.SB'→,SC→=c.SC'→

Gọi G là trọng tâm của tam giác ΔABC. Ta có SA→+SB→+SC→=3SG→

G∈A'B'C'⇔SG→=x.SA'→+y.SB'→+z.SC'→ với x+y+z=1

⇔3SG→=3x.SA'→+3y.SB'→+3z.SC'→ với x+y+z=1

⇔a.SA'→+b.SB'→+c.SC'→=3x.SA'→+3y.SB'→+3z.SC'→

⇔a−3x.SA'→+b−3y.SB'→+c−3z.SC'→=0→

⇔a−3x=b−3y=c−3z=0 (do SA'→,SB'→,SC'→ không đồng phẳng)

+) Nếu G∈A'B'C' ta có a−3x=b−3y=c−3z=0 (với x+y+z=1).

Do đó a+b+c=3

+) Nếu a+b+c=3, ta đặt x=a3,y=b3,z=c3 thì

x+y+z=a+b+c3=1 và a−3x=b−3y=c−3z=0

Do đó G∈A'B'C'