Cho hình chóp S.ABC có SA vuông góc với đáy; SA = a căn bậc hai của 3. Tam giác ABC đều cạnh a. Gọi I là trung điểm của AB. a) Chứng minh (SAB) right vuông góc (ABC).

38/38

Cho hình chóp \[S.ABC\] có \[SA\] vuông góc với đáy; \[SA = a\sqrt 3 \]. Tam giác\[ABC\] đều cạnh \[a\]. Gọi \[I\]là trung điểm của \[AB\].

a) Chứng minh \(\left( {SAB} \right) \bot \left( {ABC} \right)\).

b) Tính khoảng cách \[SB\] và \[CI\].

Nhập câu trả lời ở đây

0/3000 ký tự

Giải thích

Hướng dẫn giải

Cho hình chóp S.ABC có SA vuông góc với đáy; SA = a căn bậc hai của 3. Tam giác ABC đều cạnh a. Gọi I là trung điểm của AB. a) Chứng minh (SAB) right vuông góc (ABC). (ảnh 1)

a) Vì \(\Delta ABC\) đều, \(I\) là trung điểm của \(AB\) nên \(CI \bot AB\).

Vì \(SA \bot \left( {ABC} \right) \Rightarrow SA \bot CI\).

Ta có: \(CI \bot AB\) và \(CI \bot SA\)

\( \Rightarrow CI \bot \left( {SAB} \right)\)\( \Rightarrow \left( {ABC} \right) \bot \left( {SAB} \right)\).
b) Trong \(\left( {SAB} \right)\) kẻ \(IH \bot SB\) tại \(H\).

Ta có \(\left\{ \begin{array}{l}IH \bot SB\\IH \bot CI{\rm{ }}\left( {CI \bot \left( {SAB} \right)} \right)\end{array} \right. \Rightarrow d\left( {SB;CI} \right) = IH\).

Ta có \(IB = \frac{a}{2};SB = \sqrt {S{A^2} + A{B^2}} = 2a\).

\(\Delta IHB\) vuông tại \(H\) nên:\(IH = IB.\sin \widehat {IBH} = \frac{a}{2}.\frac{{SA}}{{SB}} = \frac{a}{2}.\frac{{a\sqrt 3 }}{{2a}} = \frac{{\sqrt 3 a}}{4}\).