Cho hình chóp S.ABC có SA vuông góc với đáy; SA = a căn bậc hai 3. Tam giác ABC đều cạnh a. Gọi I là trung điểm của AB. a) Chứng minh (SAB) vuông góc (ABC). b) Tính khoảng cách SB và CI.

Hướng dẫn giải

a) Vì \(\Delta ABC\) đều, \(I\) là trung điểm của \(AB\) nên \(CI \bot AB\).

Vì \(SA \bot \left( {ABC} \right) \Rightarrow SA \bot CI\).

Ta có: \(CI \bot AB\) và \(CI \bot SA\)

\( \Rightarrow CI \bot \left( {SAB} \right)\)\( \Rightarrow \left( {ABC} \right) \bot \left( {SAB} \right)\).
b) Trong \(\left( {SAB} \right)\) kẻ \(IH \bot SB\) tại \(H\).

Ta có \(\left\{ \begin{array}{l}IH \bot SB\\IH \bot CI{\rm{  }}\left( {CI \bot \left( {SAB} \right)} \right)\end{array} \right. \Rightarrow d\left( {SB;CI} \right) = IH\).

Ta có \(IB = \frac{a}{2};SB = \sqrt {S{A^2} + A{B^2}}  = 2a\).

\(\Delta IHB\) vuông tại \(H\) nên:\(IH = IB.\sin \widehat {IBH} = \frac{a}{2}.\frac{{SA}}{{SB}} = \frac{a}{2}.\frac{{a\sqrt 3 }}{{2a}} = \frac{{\sqrt 3 a}}{4}\).