Cho hình chóp S.ABC có SA vuông góc với đáy, SA = 2BC và góc BAC = 120 độ

46/150

Cho hình chóp \({\rm{S}}.{\rm{ABC}}\) có \({\rm{SA}}\) vuông góc với đáy, \({\rm{SA}} = 2{\rm{BC}}\) và \(\widehat {{\rm{BAC}}} = 120^\circ .\) Hình chiếu vuông góc của \({\rm{A}}\) lên các đoạn \({\rm{SB}}\) và \({\rm{SC}}\) lần lượt là \({\rm{M}}\) và \({\rm{N}}\). Góc giữa hai mặt phẳng \(\left( {{\rm{ABC}}} \right)\) và \(\left( {{\rm{AMN}}} \right)\) bằng

Nhập câu trả lời ở đây

0/3000 ký tự

Giải thích

Media VietJack

Kẻ đường kính \({\rm{AD}}\) của đường tròn ngoại tiếp \(\Delta {\rm{ABC}}\) nên \({\rm{ABD}} = {\rm{ACD}} = 90^\circ .\)

\({\rm{Ta}}\) có \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{\rm{BD}} \bot {\rm{BA}}}\\{{\rm{BD}} \bot {\rm{SA}}}\end{array} \Rightarrow {\rm{BD}} \bot \left( {{\rm{SAB}}} \right)} \right.\) hay \({\rm{BD}} \bot {\rm{AM}}\) và hay \({\rm{AM}} \bot \left( {{\rm{SBD}}} \right) \Rightarrow {\rm{AM}} \bot {\rm{SD}}{\rm{.}}\)

Chứng minh tương tự ta được \({\rm{AN}} \bot {\rm{SD}}\).

Suy ra \({\rm{SD}} \bot \left( {{\rm{AMN}}} \right)\), mà \({\rm{SA}} \bot \left( {{\rm{ABC}}} \right)\), \({\rm{AM}} \bot {\rm{SB}}\)

\( \Rightarrow \left( {\widehat {\left( {{\rm{ABC}}} \right),\,\,\left( {{\rm{AMN}}} \right)}} \right) = \widehat {\left( {{\rm{SA}},\,\,{\rm{SD}}} \right)} = \widehat {{\rm{DSA}}}.\)

Ta có \(BC = 2R\sin A = AD \cdot \frac{{\sqrt 3 }}{2} \Rightarrow SA = 2BC = AD\sqrt 3 \).

Vậy \(\tan \widehat {{\rm{ASD}}} = \frac{{{\rm{AD}}}}{{{\rm{SA}}}} = \frac{1}{{\sqrt 3 }} \Rightarrow {\rm{ASD}} = 30^\circ .\) Đáp án: 30.