Cho hình chóp S.ABC có SA vuông góc với đáy, mặt phẳng (SAB) vuông góc với mặt phẳng (SBC)

5/235

Cho hình chóp S.ABC có SA vuông góc với đáy, mặt phẳng \((SAB)\) vuông góc với mặt phẳng \((SBC)\), góc giữa hai mặt phẳng \((SAC)\) và \((SBC)\) là \({60^\circ },SB = a\sqrt 2 ,\widehat {BSC} = {45^\circ }\). Thể tích khối chóp S.ABC theo \(a\) là

\(V = \frac{{{a^3}\sqrt 2 }}{{15}}\).

\(V = 2\sqrt 3 {a^3}\).

\(V = 2\sqrt 2 {a^3}\).

\(V = \frac{{2{a^3}\sqrt 3 }}{{15}}\).

Giải thích

Đáp án đúng là D

Phương pháp giải

Tính thể tích khối chóp.

Lời giải

Cho hình chóp S.ABC có SA vuông góc với đáy, mặt phẳng (SAB) vuông góc với mặt phẳng (SBC) (ảnh 1)

Thể tích khối chóp \(V = \frac{1}{3}.SA.{S_{ABC}}\). Kẻ \(AH \bot SB\) suy ra \(AH \bot (SBC)\).

Do \(BC \bot SA\) và \(BC \bot AH\) nên \(BC \bot (SAB)\), do đó tam giác ABC vuông tại \(B\).

Kẻ \(BI \bot AC \Rightarrow BI \bot SC\) và kẻ \(BK \bot SC \Rightarrow SC \bot (BIK)\)

Do đó góc giữa hai mặt phẳng \((SAC)\) và \((SBC)\) là \(\widehat {BKI} = {60^\circ }\).

Do \(\widehat {BSC} = {45^\circ }\) nên \(SB = BC = a\sqrt 2 \) và \(K\) là trung điểm của SC nên \(BK = \frac{{SB\sqrt 2 }}{2} = a\).

Trong tam giác vuông BIK có \(BI = BK.\sin {60^\circ } = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}\).

Trong tam giác vuông ABC có \(\frac{1}{{B{I^2}}} = \frac{1}{{A{B^2}}} + \frac{1}{{B{C^2}}} \Rightarrow AB = \frac{{BI.BC}}{{\sqrt {B{C^2} - B{I^2}} }} = \frac{{a\sqrt {30} }}{5}\)

\({S_{ABC}} = \frac{1}{2}AB.BC = \frac{{{a^2}\sqrt {15} }}{2};SA = \sqrt {S{B^2} - A{B^2}} = \frac{{2a\sqrt 5 }}{5}\).

Vậy \(V = \frac{1}{3}SA.{S_{ABC}} = \frac{{2{a^3}\sqrt 3 }}{{15}}\).