Cho hình chóp S.ABC có SA vuông góc (ABC), SA = a và đáy ABC là tam giác đều cạnh 2a, O là trung điểm của BC. Bằng cách thiết lập hệ tọa độ như hình vẽ, hãy xét tính đúng sai của các khẳng đị

Theo tính chất trung điểm hình học phẳng vì \(O\) là trung điểm của \(BC\) nên ta luôn có \(\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} = 2\overrightarrow {AO} \). Do đó ý a) sai.

Lập hệ trục tọa độ với gốc \(O\left( {0;0;0} \right)\) đặt tại trung điểm \(BC\). Trục \(Ox\) chứa đoạn \(OC\), trục \(Oy\) chứa đoạn \(OA\), trục \(Oz\) vuông góc với mặt đáy tại \(O\).

Độ dài đường cao tam giác đều \(ABC\): \(AO = \frac{{2a\sqrt 3 }}{2} = a\sqrt 3 \).

Tọa độ các điểm trong không gian: \(O\left( {0;0;0} \right)\), \(C\left( {a;0;0} \right)\), \(B\left( { - a;0;0} \right)\), \(A\left( {0;a\sqrt 3 ;0} \right) \to \) Ý c) đúng.

Vì \(SA{\rm{//}}Oz\) và \(SA = a\) nên điểm \(S\) có tọa độ: \(S\left( {0;a\sqrt 3 ;a} \right)\).

Tọa độ trung điểm \(M\) của cạnh \(SC\) được tính bằng trung bình cộng tọa độ \(S\) và \(C\): \(M\left( {\frac{a}{2};\frac{{a\sqrt 3 }}{2};\frac{a}{2}} \right)\). Đề bài ghi hoành độ âm nên ý b) sai.

Tính tích vô hướng \(\overrightarrow {SB} \cdot \overrightarrow {SC} \):

Ta có \(\overrightarrow {SB} = \left( { - a; - a\sqrt 3 ; - a} \right)\) và \(\overrightarrow {SC} = \left( {a; - a\sqrt 3 ; - a} \right)\).

\(\overrightarrow {SB} \cdot \overrightarrow {SC} = \left( { - a} \right) \cdot a + \left( { - a\sqrt 3 } \right) \cdot \left( { - a\sqrt 3 } \right) + \left( { - a} \right) \cdot \left( { - a} \right) = - {a^2} + 3{a^2} + {a^2} = 3{a^2}\). Do đó ý d) đúng.