Cho hình chóp S.ABC có SA = SB = SC = BA = BC = 1. Tìm thể tích lớn nhất của khối chóp S.ABC?

Đáp án C.

Gọi H là hình chiếu của S lên (ABC).

Khi đó H là tâm đường tròn ngoại tiếp ΔABC.

Vì ΔABC. cân tại B nên H thuộc đường trung trực BM của AC..

Đặt AC=x

Ta có:SΔABC=12.BM.AC=12.x.1−x24=x4−x24 và  R=abc4SΔABC=14−x2.

Chiều cao của khối chóp là: SH=SB2−BH2=SB2−R2=3−x24−x2.   

Thể tích khối chóp là: V=13.SH.SΔABC=13.3−x24−x2.x4−x24=x23−x212.

Theo bất đẳng thức Côsi ta có: x23−x2≤x2+3−x224=32.

Do đó  V=x23−x212≤32.12=18.

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi x2=3−x2⇔x=32.