Cho hình chóp S.ABC có SA = SB = SC = AB = AC = a , BC = a √ 2 . Tính góc giữa hai đường thẳng SC và AB.

Phương pháp giải:

Sử dụng vectơ và tích vô hướng để tính cosin của góc giữa hai vectơ chỉ phương.

Giải chi tiết:

Ta có:

      \[\cos (\widehat {(SC,AB)}) = \frac{{\overrightarrow {SC} \cdot \overrightarrow {AB} }}{{|\overrightarrow {SC} | \cdot |\overrightarrow {AB} |}}\]

Mà:

                   \[\overrightarrow {SC} = \overrightarrow {SA} + \overrightarrow {AC} \]

Suy ra:

             \[\overrightarrow {SC} \cdot \overrightarrow {AB} = (\overrightarrow {SA} + \overrightarrow {AC} ) \cdot \overrightarrow {AB} = \overrightarrow {SA} \cdot \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} \cdot \overrightarrow {AB} \]

Xét tam giác ABC:

Do đó:

       \[\overrightarrow {AC} \cdot \overrightarrow {AB} = 0\]

Xét tam giác SAB đều:

$\widehat{SAB}={60}^{°}\Rightarrow (\overrightarrow{SA},\overrightarrow{AB})={120}^{°}$

Suy ra:

$\overrightarrow{SA}\cdot \overrightarrow{AB}=\left|SA\right|\cdot \left|AB\right|\cos {120}^{°}=a\cdot a\cdot \left(-\frac{1}{2}\right)=-\frac{a^2}{2}$

Do đó:

$\cos \left(\widehat{(SC,AB)}\right)=\frac{-\frac{a^2}{2}}{a\cdot a}=-\frac{1}{2}\Rightarrow \widehat{(SC,AB)}={120}^{°}$

Vì góc giữa hai đường thẳng là góc nhọn nên:

$\widehat{(SC,AB)}={180}^{°}-{120}^{°}={60}^{°}$

Vậy chọn đáp án A.