Cho hình chóp S.ABC có SA = SB = SC = a, goc {ASB} = 60 độ

17/235

Cho hình chóp \(S.ABC\) có \(SA = SB = SC = a,\widehat {ASB} = {60^ \circ },\widehat {BSC} = {90^ \circ },\widehat {CSA} = {120^ \circ }\). Tính thể tích khối chóp \(S.ABC\).

\(\frac{{{a^3}\sqrt 3 }}{4}\).

\(\frac{{\sqrt 3 {a^3}}}{{12}}\).

\(\frac{{{a^3}\sqrt 2 }}{{12}}\).

\(\frac{{{a^3}\sqrt 2 }}{4}\).

Giải thích

Đáp án đúng là C

Phương pháp giải

Thể tích của khối chóp: \(V = \frac{1}{3}h.S\), trong đó \(h\) là chiều cao hình chóp, \(S\) là diện tích đáy của hình chóp.

Lời giải

Cho hình chóp S.ABC có SA = SB = SC = a, goc {ASB} = 60 độ (ảnh 1)

Tam giác \(SAB\) đều nên \(AB = SA = a\).

Tam giác \(SBC\) vuông cân tại \(S\) nên \(BC = SB.\sqrt 2 = a\sqrt 2 \).

Tam giác \(SAC\) cân tại \(S\), có \(\widehat {ASC} = {120^ \circ }\) nên \(AC = SC.\sqrt 3 = a\sqrt 3 \).

Xét tam giác \(ABC\) có \(A{C^2} = A{B^2} + B{C^2}\) nên tam giác \(ABC\) vuông tại \(B\).

Gọi \(O\) là trung điểm \(AC\). Khi đó \(OA = OB = OC\). Mà \(SA = SB = SC\) nên \(SO \bot \left( {ABC} \right)\).

Ta có \(OA = \frac{{AC}}{2} = \frac{{a\sqrt 3 }}{2};SO = \sqrt {S{A^2} - O{A^2}} = \sqrt {{a^2} - {{\left( {\frac{{a\sqrt 3 }}{2}} \right)}^2}} = \frac{a}{2}\);

\({S_{ABC}} = \frac{1}{2}AB.BC = \frac{1}{2}a.a\sqrt 2 = \frac{{{a^2}\sqrt 2 }}{2}\).

Vậy thể tích khối chóp \(S.ABC\) là \({V_{S.ABC}} = \frac{1}{3}SO.{S_{ABC}} = \frac{1}{3}\frac{a}{2}.\frac{{{a^2}\sqrt 2 }}{2} = \frac{{{a^3}\sqrt 2 }}{{12}}\).