Cho hình chóp S.ABC có mỗi mặt bên là một tam giác vuông và SA=SB=SC=a

43/120

Cho hình chóp S.ABC có mỗi mặt bên là một tam giác vuông và SA=SB=SC=a. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, AC, BC; D là điểm đối xứng của S qua P. I là giao điểm của đường thẳng AD với mặt phẳng (SMN). Tính theo a thể tích của khối tứ diện MBSI.

a312.

a336.

a36.

2a312.

Giải thích

Chọn C

Phương pháp giải:

Sử dụng tỉ số diện tích, tỉ số thể tích để tính thể tích khối tứ diện MBSI thông qua thể tích khối tứ diện vuông SABC.

Giải chi tiết:

Cho hình chóp S.ABC có mỗi mặt bên là một tam giác vuông và SA=SB=SC=a (ảnh 1)

Do SA=SB=SC=anên các tam giác SAB,SBC,SCA⇒SA,SB,SC vuông tại S.

đôi một vuông góc.

Thể tích khối tứ diện vuông S.ABC là: V=16.SA.SB.SC=a36

Gọi J là giao điểm của MN và AP, I là giao điểm của SJ và AD. Khi đó, I=AD∩SMN (do SI⊂SMN)

ΔASD có: P là trung điểm của SD, J là trung điểm của AP.

Xét tam giác vuông SBC có SP=12BC=a22⇒AP=SA2+SP2=a62
⇒SJ=12AP=a64.

Ta có: SD=2SP=a2⇒AD=a3⇒cos∠SDA=SDAD=63.

Áp dụng định lí Menelaus trong tam giác APD ta có:

JAJP.SPSD.IDIA=1⇔1.12.IDIA=1⇔IDIA=2⇔ID=23AD=2a33

Áp dụng định lí Cosin trong tam giác ta có:

SI2=SD2+DI2−2SD.DI.cos∠SDA=2a2+43a2−2.a2.2a33.63=2a23

Dễ dàng chứng minh được:

SJ=34SI⇒SΔSJB=34SΔSIB⇒VM.SJB=34VM.SIBhay ⇒VM.SIB=43VM.SJB

Lại có: SΔMJB=12SΔAJB=12.12SΔAPB=18SΔABC

⇒VM.SJB=18VS.ABC⇒VM.SIB=43.18VS.ABC=16VS.ABC=16.16a3=136a3