Cho hình chóp \(S.ABC\) có mặt bên \(\left( {SAB} \right)\) vuông góc với mặt đáy và tam giác \(SAB\) đều cạnh \(2a\).

Ta có \(H\) là trung điểm của \(AB\), mà tam giác \(SAB\) đều nên \(SH \bot AB\).

Ngoài ra \(\left( {SAB} \right) \bot \left( {ABC} \right)\) nên \(SH \bot \left( {ABC} \right)\).

Ta có: \(d\left( {S,\left( {ABC} \right)} \right) = SH = \frac{{2a \cdot \sqrt 3 }}{2} = a\sqrt 3 \) (do tam giác \(SAB\) đều cạnh \(2a)\).

Kẻ đường cao \(CK\) của tam giác \(ABC\).

Ta có: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{CK \bot AB}\\{CK \bot SH}\end{array} \Rightarrow CK \bot \left( {SAB} \right) \Rightarrow d\left( {C,\left( {SAB} \right)} \right) = CK} \right.\).

Xét tam giác \(ABC\) vuông tại \(C\) có: \(BC = \sqrt {A{B^2} - A{C^2}}  = \sqrt {4{a^2} - 3{a^2}}  = a\).

Có \(CK = \frac{{CA \cdot CB}}{{AB}} = \frac{{a\sqrt 3  \cdot a}}{{2a}} = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}\). Vậy \(d\left( {C,\left( {SAB} \right)} \right) = CK = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}\).

Diện tích đáy hình chóp là: \({S_{\Delta ABC}} = \frac{1}{2}AC \cdot BC = \frac{1}{2}a\sqrt 3  \cdot a = \frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{2}\).

Thể tích khối chóp là: \({V_{S \cdot ABC}} = \frac{1}{3}SH \cdot {S_{\Delta ABC}} = \frac{1}{3} \cdot a\sqrt 3  \cdot \frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{2} = \frac{{{a^3}}}{2}\).

Đáp án:       a) Đúng,      b) Đúng,     c) Sai,                    d) Sai.