Cho hình chóp S.ABC có góc SAB = 90 độ, góc SBC = 90 độ, góc ABC = 135 độ, AB = a, AC = a căn bậc hai của 5. Góc giữa hai mặt phẳng (SAB) và (SBC) bằng 30 độ. Tính khoảng cách từ S tới (AB

82/235

Cho hình chóp $S.ABC$ có $\overset{⏜}{S A B} = 90^{°}, \overset{⏜}{S B C} = 90^{°}, \overset{⏜}{A B C} = 135^{°}, A B = a, A C = a \sqrt{5}$ . Góc giữa hai mặt phẳng $(SAB)$ và $(SBC)$ bằng $30^{°}$ . Tính khoảng cách từ $S$ tới $(ABC)$.

$a.$

$a\sqrt 7 .$

$a\sqrt 3 .$

$a\sqrt 2 .$

Giải thích

Giải chi tiết:

Đáp án cần chọn là: A (ảnh 1)

Gọi $H$ là hình chiếu của $S$ trên $(ABC) \Rightarrow SH \bot (ABC)$

Gọi $h = d(C,(SAB))$

Vì $C B ⊥ S B, ((S A B), (S B C)) = 30^{°} \Rightarrow \sin 30^{°} = \frac{h}{B C} \Rightarrow h = \frac{B C}{2}$

$ \Rightarrow {V_{S.ABC}} = \frac{1}{3}d(C,(SAB)) \cdot {S_{SAB}} = \frac{1}{3} \cdot \frac{{BC}}{2} \cdot {S_{SAB}} = \frac{1}{6}BC \cdot \frac{{AB \cdot SA}}{2}\quad (1)$

Mặt khác: $V_{S . A B C} = \frac{1}{3} S H \cdot \frac{1}{2} A B \cdot B C \sin 135^{°} = \frac{1}{6} S H \cdot A B \cdot \frac{B C}{\sqrt{2}} (2)$

Từ $\left( 1 \right)$ và $\left( 2 \right)$ suy ra $SA = SH\sqrt 2 $

Do đó $\Delta SAH$ vuông cân tại $H \Rightarrow SH = HA\quad (3)$

Ta có: $\{\begin{cases} B C ⊥ B H \\ S H ⊥ B C \end{cases} \Rightarrow B C ⊥ (S B H) \Rightarrow B C ⊥ B H \Rightarrow \overset{⏜}{H B C} = 90^{°}$

Chứng minh tương tự ta có $\overset{⏜}{B A H} = 90^{°}$

Ta có: $\overset{⏜}{A B H} = \overset{⏜}{A B C} - \overset{⏜}{H B C} = 135^{°} - 90^{°} = 45^{°}$

Mà vuông cân tại $A \Rightarrow AH = AB = a\quad (4)$

Từ $\left( 3 \right),\,\,\left( 4 \right)$ suy ra $SH = a$

Chọn A

Đáp án cần chọn là: A