Cho hình chóp S.ABC có đáy tam giác vuông tại A có AB = a,BC = a căn 5

3/235

Cho hình chóp S.ABC có đáy tam giác vuông tại \(A\) có \(AB = a,BC = a\sqrt 5 \). Biết \(SA = 3a\) và \(SA \bot (ABC)\). Tính khoảng cách từ \(A\) đến mặt phẳng \((SBC)\).

\(\frac{{6a}}{7}\).

\(\frac{{\sqrt 2 a}}{2}\).

\(\frac{{3a}}{7}\).

\(\frac{{\sqrt 5 a}}{5}\).

Giải thích

Đáp án đúng là A

Phương pháp giải

Tìm khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng.

Lời giải

Cho hình chóp S.ABC có đáy tam giác vuông tại A có AB = a,BC = a căn 5 (ảnh 1)

Trong mặt phẳng \((ABC)\), kẻ \(AH \bot BC,H \in BC\).

Vì \(SA \bot (ABC)\) nên \(SA \bot BC\).

\( \Rightarrow BC \bot (SAH)\)

Mà \(BC \in (SBC) \Rightarrow (SAH) \bot (SBC) = SH\).

Trong mặt phẳng \((SAH)\), kẻ \(AK \bot SH,K \in SH\).

\( \Rightarrow AK \bot (SBC) \Rightarrow d(A,(SBC)) = AK\)

Xét tam giác ABC vuông tại \(A\), ta có \(AC = \sqrt {B{C^2} - A{B^2}} = 2a\)

\(\frac{1}{{A{H^2}}} = \frac{1}{{A{B^2}}} + \frac{1}{{A{C^2}}} = \frac{1}{{{a^2}}} + \frac{1}{{4{a^2}}} = \frac{5}{{4{a^2}}}\)

Xét tam giác SAH vuông tại \(A\), ta có

\(\frac{1}{{A{K^2}}} = \frac{1}{{S{A^2}}} + \frac{1}{{A{H^2}}} = \frac{1}{{9{a^2}}} + \frac{5}{{4{a^2}}} = \frac{{49}}{{36{a^2}}} \Rightarrow AK = \frac{{6a}}{7}\)