Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông tại A

Đáp án đúng là B

Phương pháp giải

Để xác định khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng, ta có thể dựng hình chiếu của điểm đó trên mặt phẳng, rồi xác định khoảng cách từ điểm đó đến hình chiếu của nó.

Lời giải

Gọi \(H\) là hình chiếu của \(S\) trên \(BC\). Vì mặt bên \(SBC\) nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy nên \(SH \bot \left( {ABC} \right)\)

Gọi I là hình chiếu của \(H\) trên \(AB\), \(K\) là hình chiếu của \(H\) trên \(SI\). Khi đó \(HK \bot \left( {SAB} \right)\) nên \(HK = {d_{\left[ {H,\left( {SAB} \right)} \right]}}\).

\(\Delta SBC\) đều nên \(H\) là trung điểm \(BC \Rightarrow BH = \frac{{BC}}{2} = \frac{a}{2}\);

\(HI = BH.\sin {30^ \circ } = \frac{a}{2}.\frac{1}{2} = \frac{a}{4}\) và \(SH = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}\).

Ta có \(\frac{1}{{H{K^2}}} = \frac{1}{{S{H^2}}} + \frac{1}{{H{I^2}}} = \frac{1}{{{{\left( {\frac{{a\sqrt 3 }}{2}} \right)}^2}}} + \frac{1}{{{{\left( {\frac{a}{4}} \right)}^2}}} \Rightarrow HK = \frac{{a\sqrt {39} }}{{26}}\).

Ta có \(\frac{{{d_{\left[ {C,\left( {SAB} \right)} \right]}}}}{{{d_{\left[ {H,\left( {SAB} \right)} \right]}}}} = \frac{{CB}}{{HB}} = 2 \Rightarrow {d_{\left[ {C,\left( {SAB} \right)} \right]}} = 2{d_{\left[ {H,\left( {SAB} \right)} \right]}} = 2HK = 2.\frac{{a\sqrt {39} }}{{26}} = \frac{{a\sqrt {39} }}{{13}}\).