Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông tại A, có AB = a, BC = a căn bậc hai 5. Biết SA = 3a và SA vuông góc với (ABC). Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SBC).

Giải chi tiết:

Trong mặt phẳng \((ABC)\), kẻ \(AH \bot BC,H \in BC.\)

Vì \(SA \bot (ABC)\) nên \(SA \bot BC.\)

\( \Rightarrow BC \bot (SAH).\)

Mà \(BC \subset (SBC)\) nên \((SAH) \bot (SBC) = SH.\)

Trong mặt phẳng \((SAH)\), kẻ \(AK \bot SH,K \in SH.\)

\( \Rightarrow AK \bot (SBC).\)

\( \Rightarrow {\rm{d}}(A,(SBC)) = AK\)

Xét vuông tại \(A\), ta có \(AC = \sqrt {B{C^2} - A{B^2}} = 2a\).

\(\frac{1}{{A{H^2}}} = \frac{1}{{A{B^2}}} + \frac{1}{{A{C^2}}} = \frac{1}{{{a^2}}} + \frac{1}{{4{a^2}}} = \frac{5}{{4{a^2}}}\)

Xét vuông tại \(A\), ta có

\(\frac{1}{{A{K^2}}} = \frac{1}{{S{A^2}}} + \frac{1}{{A{H^2}}} = \frac{1}{{9{a^2}}} + \frac{5}{{4{a^2}}} = \frac{{49}}{{36{a^2}}}.\)

\( \Rightarrow A{K^2} = \frac{{36{a^2}}}{{49}} \Leftrightarrow AK = \frac{{6a}}{7}\)

Đáp án cần chọn là: A