Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông tại A có AB = a,BC = a căn 5
30/234
Cho hình chóp \(S.ABC\) có đáy là tam giác vuông tại \(A\) có \(AB = a,BC = a\sqrt 5 \). Biết \(SA = 3a\) và \(SA \bot \left( {ABC} \right)\). Tính khoảng cách từ \(A\) đến mặt phẳng \(\left( {SBC} \right)\).
\(\frac{{6a}}{7}\).
\(\frac{{3a}}{{\sqrt {13} }}\).
\(\frac{a}{{\sqrt 5 }}\).
\(\frac{{3a}}{7}\).
Đáp án đúng là A
Phương pháp giải
Lời giải
Trong mặt phẳng \(\left( {ABC} \right)\), kẻ \(AH \bot BC,H \in BC\).
vì \(SA \bot \left( {ABC} \right)\) nên \(SA \bot BC\).
\( \Rightarrow BC \bot \left( {SAH} \right)\).
Mà \(BC \subset \left( {SBC} \right)\) nên \(\left( {SAH} \right) \bot \left( {SBC} \right) = SH\).
Trong mặt phẳng \(\left( {SAH} \right)\), kẻ \(AK \bot SH,K \in SH\).
\( \Rightarrow AK \bot \left( {SBC} \right)\).
\( \Rightarrow {\rm{d}}\left( {A,\left( {SBC} \right)} \right) = AK\)
Xét \(\Delta ABC\) vuông tại \(A\), ta có \(AC = \sqrt {B{C^2} - A{B^2}} = 2a\).
\(\frac{1}{{A{H^2}}} = \frac{1}{{A{B^2}}} + \frac{1}{{A{C^2}}} = \frac{1}{{{a^2}}} + \frac{1}{{4{a^2}}} = \frac{5}{{4{a^2}}}\)
Xét \(\Delta SAH\) vuông tại \(A\), ta có
\(\frac{1}{{A{K^2}}} = \frac{1}{{S{A^2}}} + \frac{1}{{A{H^2}}} = \frac{1}{{9{a^2}}} + \frac{5}{{4{a^2}}} = \frac{{49}}{{36{a^2}}}\).
\( \Rightarrow A{K^2} = \frac{{36{a^2}}}{{49}} \Leftrightarrow AK = \frac{{6a}}{7}\)