Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông tại A,AC = a,I là trung điểm của SC

16/234

Cho hình chóp \(S.ABC\) có đáy là tam giác vuông tại \(A,AC = a,I\) là trung điểm của \(SC\). Hình chiếu vuông góc của \(S\) lên \(\left( {ABC} \right)\) là trung điểm \(H\) của \(BC\). Mặt phẳng \(\left( {SAB} \right)\) tạo với mặt phẳng \(\left( {ABC} \right)\) một góc \({60^ \circ }\). Tính khoảng cách từ \(I\) đến mặt phẳng (SAB).

\(\frac{{\sqrt 3 }}{4}a\).

\(\frac{{\sqrt 3 }}{5}a\).

\(\frac{{\sqrt 5 }}{4}a\).

\(\frac{{\sqrt 2 }}{3}a\).

Giải thích

Đáp án đúng là A

Phương pháp giải

Tính khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng.

Lời giải

Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông tại A,AC = a,I là trung điểm của SC (ảnh 1)

Gọi \(M\) là trung điểm cạnh \(AB\) thì \(HM\) là đường trung bình của tam giác \(ABC\) nên \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{MH//AC}\\{MH = \frac{1}{2}a}\end{array} \Rightarrow MH \bot AB} \right.\).

Mặt khác, do \(SH \bot \left( {ABC} \right) \Rightarrow \left( {SMH} \right) \bot BC\)

Suy ra góc giữa \(\left( {SAB} \right)\) và \(\left( {ABC} \right)\) là góc giữa \(SM\) và \(MH\).

Lại có \(SH \bot MN\) suy ra \(\left( {\widehat {SM,MH}} \right) = \widehat {SMH}\). Từ giả thiết này suy ra \(\widehat {SMH} = {60^ \circ }\).

Gọi \(K\) là hình chiếu của \(H\) lên \(SM\) thì \(HK \bot \left( {SAB} \right)\).

Xét tam giác vuông \(SMH\) có: \(MH = \frac{1}{2}a;SH = MH.{\rm{tan}}{60^ \circ } = \frac{{\sqrt 3 }}{2}a \Rightarrow HK = \frac{{\sqrt 3 }}{4}a\).

Ta có \(HI\) là đường trung bình của tam giác \(SBC\) nên \(HI//SB \Rightarrow HI//\left( {SAB} \right)\).

\( \Rightarrow d\left( {I,\left( {SAB} \right)} \right) = d\left( {H,\left( {SAB} \right)} \right) = \frac{{\sqrt 3 }}{4}a.\)