Cho hình chóp $S.ABC$ có đáy là tam giác vuông tại $A,$$AB = a,$$BC = 2a$ và $SB$ vuông góc với mặt phẳng

104/235

Cho hình chóp $S.ABC$ có đáy là tam giác vuông tại $A,$$AB = a,$$BC = 2a$ và $SB$ vuông góc với mặt phẳng $(ABC)$. Biết góc giữa hai mặt phẳng $(SAC)$ và $(SBC)$ bằng $60^{0}$ . Thể tích của khối chóp $S.ABC$ bằng

$\frac{{{a^3}\sqrt 2 }}{6}$.

$\frac{{{a^3}\sqrt 6 }}{{12}}$.

$\frac{{{a^3}\sqrt 6 }}{4}$.

$\frac{{{a^3}\sqrt 2 }}{2}$.

Giải thích

Giải chi tiết:

$Cho hình chóp $S.ABC$ có đáy là tam giác vuông tại $A,$$AB = a,$$BC = 2a$ và $SB$ vuông góc với mặt phẳng (ảnh 1)$

Kẻ $BI \bot SA\;(I \in SA)$.

Ta có: $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{SB \bot AC}\\{AB \bot AC}\end{array}} \right. \Rightarrow AC \bot (SAB) \Rightarrow AC \bot BI$

Mà $BI \bot SA\;(I \in SA)$ nên $BI \bot (SAC) \Rightarrow BI \bot SC\;(1)$.

Kẻ $BF \bot SC\;(F \in SC)\;(2)$.

Từ $(1)$ và $(2)$ suy ra $(BFI) \bot SC$.

Khi đó $((S A C), (S B C)) = \hat{B F I} \Rightarrow \hat{B F I} = 60^{°}$

Do $BI \bot (SAC) \Rightarrow BI \bot FI$.

Trong tam giác vuông $B F I : B I = B F \sin 60^{°} \Rightarrow B I = B F \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}$

Ta có: $BI = \frac{{SB.AB}}{{\sqrt {S{B^2} + A{B^2}} }},\;BF = \frac{{SB.BC}}{{\sqrt {S{B^2} + B{C^2}} }}$

$ \Rightarrow \frac{{SB.AB}}{{\sqrt {S{B^2} + A{B^2}} }} = \frac{{\sqrt 3 }}{2} \cdot \frac{{SB.BC}}{{\sqrt {S{B^2} + B{C^2}} }}$

$ \Rightarrow \frac{a}{{\sqrt {S{B^2} + {a^2}} }} = \frac{{\sqrt 3 }}{2} \cdot \frac{{2a}}{{\sqrt {S{B^2} + 4{a^2}} }}$

$ \Rightarrow 3(S{B^2} + {a^2}) = S{B^2} + 4{a^2}$

$ \Rightarrow SB = \frac{a}{{\sqrt 2 }}$

Vậy thể tích khối chóp đã cho bằng:

$V = \frac{1}{3} \cdot SB \cdot {S_{ABC}} = \frac{1}{3} \cdot \frac{a}{{\sqrt 2 }} \cdot \frac{1}{2} \cdot a \cdot a\sqrt 3 = \frac{{{a^3}\sqrt 6 }}{{12}}.$

Đáp án cần chọn là: B

Đề thi Đánh giá năng lực ĐHQG Hà Nội form 2026 có đáp án (Đề số 16)

Cho hình chóp \(S.ABC\) có đáy là tam giác vuông tại \(A,\)\(AB = a,\)\(BC = 2a\) và \(SB\) vuông góc với mặt phẳng