Cho hình chóp $S.ABC$ có đáy là tam giác vuông cân tại $B$ có $AB = BC = 4$. Gọi $H$ là trung điểm

12/22

Cho hình chóp $S.ABC$ có đáy là tam giác vuông cân tại $B$ có $AB = BC = 4$. Gọi $H$ là trung điểm của $AB$, $SH \bot \left( {ABC} \right)$. Mặt phẳng $\left( {SBC} \right)$ tạo với mặt đáy một góc $60^\circ $. Côsin góc giữa hai mặt phẳng $\left( {SAC} \right)$ và $\left( {ABC} \right)$ bằng

$\frac{{\sqrt 5 }}{5}$.

$\frac{{\sqrt 5 }}{4}$.

$\frac{{\sqrt {10} }}{5}$.

$\frac{1}{{\sqrt 7 }}$.

Giải thích

Chọn D

$Cho hình chóp $S.ABC$ có đáy là tam giác vuông cân tại $B$ có $AB = BC = 4$. Gọi $H$ là trung điểm (ảnh 1)$

Ta có $\left\{ \begin{array}{l}AB \bot BC\\SH \bot BC\end{array} \right.$ $ \Rightarrow \,\,\,BC \bot \left( {SAB} \right)$.

Vì $\left\{ \begin{array}{l}\left( {SBC} \right) \cap \left( {ABC} \right) = BC\\\left( {SAB} \right) \bot BC\\\left( {SAB} \right) \cap \left( {SBC} \right) = SB\\\left( {SAB} \right) \cap \left( {ABC} \right) = AB\end{array} \right.$ nên $\left( {\left( {SBC} \right)\,,\;\left( {ABC} \right)} \right) = \left( {SB\,,\;AB} \right) = \widehat {SBA} = 60^\circ $.

Suy ra $SH = BH\tan 60^\circ = 2\sqrt 3 $.

Chọn hệ tọa độ $Hxyz$ như hình vẽ.

Ta có $H\left( {0\,;\;0\,;\;0} \right)$, $A\left( { - 2\,;\;0\,;\;0} \right)$, $B\left( {2\,;\;0\,;\;0} \right)$, $C\left( {2\,;\;4\,;\;0} \right)$, $S\left( {0\,;\;0\,;\;2\sqrt 3 } \right)$, $I\left( {0\,;\;2\,;\;0} \right)$ với $I$ là trung điểm của $AC$.

Mặt phẳng $\left( {ABC} \right)$ có phương trình là $z = 0$.

Mặt phẳng $\left( {SAC} \right)$ cắt ba trục $Hx$, $Hy$, $Hz$ lần lượt tại các điểm $A\left( { - 2\,;\;0\,;\;0} \right)$, $I\left( {0\,;\;2\,;\;0} \right)$, $S\left( {0\,;\;0\,;\;2\sqrt 3 } \right)$ nên có phương trình: $\frac{x}{{ - 2}} + \frac{y}{2} + \frac{z}{{2\sqrt 3 }} = 1$ $ \Leftrightarrow \,\,\, - 3x + 3y + \sqrt 3 z - 6 = 0$.

Gọi \[\varphi \] là góc giữa $\left( {SAC} \right)$ và $\left( {ABC} \right)$, ta có \[\cos \varphi = \frac{{\left| {1.\sqrt 3 } \right|}}{{1.\sqrt {9 + 9 + 3} }} = \frac{1}{{\sqrt 7 }}\].

Vậy côsin góc giữa hai mặt phẳng $\left( {SAC} \right)$ và $\left( {ABC} \right)$ bằng \[\frac{1}{{\sqrt 7 }}\].

Đề kiểm tra Công thức tính góc trong không gian (có lời giải) - Đề 3

Cho hình chóp \(S.ABC\) có đáy là tam giác vuông cân tại \(B\) có \(AB = BC = 4\). Gọi \(H\) là trung điểm