Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông cân tại B,AB = a

26/235

Cho hình chóp \(S.ABC\) có đáy là tam giác vuông cân tại \(B,\)\(AB = a.\) Cạnh bên \(SA\) vuông góc với mặt phẳng đáy, góc tạo bởi hai mặt phẳng \(\left( {ABC} \right)\) và \(\left( {SBC} \right)\) bằng \(60^\circ \). Khoảng cách giữa hai đường thẳng \(AB\) và \(SC\) bằng:

\[a\].

\[\frac{{a\sqrt 3 }}{3}\].

\[\frac{{a\sqrt 2 }}{2}\].

\[\frac{{a\sqrt 3 }}{2}\].

Giải thích

Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông cân tại B,AB = a (ảnh 1)

Ta có \(\left\{ \begin{array}{l}BC \bot AB\\BC \bot SA\end{array} \right. \Rightarrow BC \bot \left( {SAB} \right).\)

Góc giữa hai mặt phẳng \(\left( {ABC} \right)\) và \(\left( {SBC} \right)\) là góc \(\widehat {SBA} = 60^\circ .\) Do đó \(SA = a \cdot \tan 60^\circ = a\sqrt 3 .\)

Dựng \(D\) sao cho \(ABCD\) là hình vuông. Dựng \(AE \bot SD\) tại E.

Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}CD \bot AD\\CD \bot SA\end{array} \right. \Rightarrow CD \bot \left( {SAD} \right) \Rightarrow CD \bot AE.\)

Mà \(AE \bot SD\) suy ra \(AE \bot \left( {SCD} \right).\)Ta có \(d\left( {AB,SC} \right) = d\left( {AB,\left( {SCD} \right)} \right) = d\left( {A,\left( {SCD} \right)} \right) = AE.\)

Mà \(AE = \frac{{AS \cdot AD}}{{SD}} = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}.\) Vậy \(d\left( {AB,SC} \right) = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}.\) Chọn D.