Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác đều, tam giác SAB vuông cân tại S và

41/235

Cho hình chóp \(S.ABC\) có đáy là tam giác đều, tam giác \(SAB\) vuông cân tại \(S\) và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Biết \(SA = \sqrt 6 a\), khoảng cách từ \(A\) đến mặt phẳng \(\left( {SBC} \right)\) bằng:

\(\frac{{2\sqrt 7 }}{5}a\).

\(\sqrt 7 a\).

\(\frac{{\sqrt 7 }}{7}a\).

\(\frac{{6\sqrt 7 }}{7}a\).

Giải thích

Đáp án đúng là D

Phương pháp giải

Xác định và tính khoảng cách

Lời giải

Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác đều, tam giác SAB vuông cân tại S và (ảnh 1)

Gọi \(E\) là trung điểm cạnh \(AB\). Khi đó: \(SE \bot AB\).

Mà \(\left( {SAB} \right) \bot \left( {ABC} \right)\). Suy ra: \(SE \bot \left( {ABC} \right)\).

Gọi \(F,G\) lần lượt là trung điểm đoạn \(BC;BF\).

Tam giác \(ABC\) đều nên \(AF \bot BC\).

Xét tam giác \(ABF\) có \(E,G\) lần lượt là trung điểm \(AB,BF\) nên \(EG//AF\).

Suy ra: \(EG \bot BC\).

Ta có: \(SE \bot \left( {ABC} \right) \Rightarrow SE \bot BC\) và \(EG \bot BC\).

Suy ra: \(BC \bot \left( {SEG} \right) \Rightarrow \left( {SEG} \right) \bot \left( {SBC} \right)\).

Gọi \(H\) là hình chiếu vuông góc của \(E\) trên \(SG\).

Suy ra: \(EH \bot \left( {SBC} \right)\). Nên \(d\left( {E;\left( {SBC} \right)} \right) = EH\).

Do \(\Delta SAB\) vuông cân tại \(S;SA = a\sqrt 6 \) nên \(AB = SA.\sqrt 2 = 2\sqrt 3 a \Rightarrow SE = a\sqrt 3 \).

Tam giác \(ABC\) đều cạnh \(AB = 2\sqrt 3 a\) nên \(AF = \frac{{\sqrt 3 }}{2}.2\sqrt 3 a = 3a\). Suy ra: \(EG = \frac{1}{2}AF = \frac{3}{2}a\).

Tam giác \(SEG\) vuông tại \(E,EH \bot SG\) nên\(EH = \frac{{ES.EG}}{{SG}} = \frac{{a\sqrt 3 .\frac{3}{2}a}}{{\sqrt {{{(a\sqrt 3 )}^2} + {{\left( {\frac{3}{2}a} \right)}^2}} }} = \frac{{3\sqrt 7 }}{7}a\).

Suy ra: \(d\left( {A;\left( {SBC} \right)} \right) = 2.EH = \frac{{6\sqrt 7 }}{7}a\)