Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác đều cạnh bằng 9. Hình chiếu vuông góc của đỉnh S trên mặt phẳng (ABC) là điểm H thuộc cạnh AB sao cho HA = 2HB. Góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng (AB

Đáp án: \[6,52\].

Đặt hệ trục toạ độ \[{\rm{Ox}}yz\] như hình vẽ, mặt phẳng đáy là \(z = 0\). Chọn \(A(0,0,0)\), \(B(9,0,0)\), \(C\left( {\frac{9}{2},\frac{{9\sqrt 3 }}{2},0} \right)\).

Vì \(H \in AB\) và \(HA = 2HB\), mà \(AB = 9\), nên \(HB = 3\), \(HA = 6\).

Suy ra \(H(6,0,0)\).Hình chiếu vuông góc của \(S\) lên đáy là \(H\), nên \(S(6,0,h)\).

Góc giữa \(SC\) và mặt phẳng \((ABC)\) bằng ${45}^{°}$, nên $\tan {45}^{°}=\frac{SH}{HC}\Rightarrow SH=HC$

Tính \(HC = \sqrt {{{\left( {6 - \frac{9}{2}} \right)}^2} + {{\left( {0 - \frac{{9\sqrt 3 }}{2}} \right)}^2}} \)\( = \sqrt {{{\left( {\frac{3}{2}} \right)}^2} + \frac{{243}}{4}}  = \sqrt {\frac{{252}}{4}}  = 3\sqrt 7 \).Vậy \(h = 3\sqrt 7 \), tức là \(S(6,0,3\sqrt 7 )\).

Lấy vectơ chỉ phương: \(\vec u = \overrightarrow {SA}  = ( - 6,0, - 3\sqrt 7 )\), \(\vec v = \overrightarrow {BC}  = \left( { - \frac{9}{2},\frac{{9\sqrt 3 }}{2},0} \right)\).

Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau \(SA\) và \(BC\): \(d = \frac{{|\overrightarrow {SB}  \cdot \left[ {\vec u;\vec v} \right]|}}{{|\left[ {\vec u;\vec v} \right]|}}\)\( = \frac{{9\sqrt {210} }}{{20}} \approx 6,52\).