Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác đều cạnh bằng 6. Hình chiếu vuông góc của đỉnh S trên mặt phẳng (ABC) là điểm H thuộc cạnh AB sao cho HA = 2HB. Góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng (AB

Đáp án: 4,86.

Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ

Ta có \(\widehat {SCH} = 60^\circ \), \(OC = 3\sqrt 3 \), \(HC = \sqrt {28} \), \(SH = \sqrt {84} \).

\(A\left( { - 3;0;0} \right)\), \(B\left( {3;0;0} \right),\,C\left( {0;3\sqrt 3 ;0} \right)\), \(H\left( {1;0;0} \right)\), \(S\left( {1;0;\sqrt {84} } \right)\).

Gọi \(\left( \alpha  \right)\) là mặt phẳng chứa \(SA\) và song song với \(BC\).

\(\begin{array}{l}\overrightarrow {SA}  = \left( { - 4;0; - \sqrt {84} } \right)\\\overrightarrow {BC}  = \left( { - 3;3\sqrt 3 ;0} \right)\\\left[ {\overrightarrow {SA} ,\overrightarrow {BC} } \right] = \left( {18\sqrt 7 ;6\sqrt {21} ; - 12\sqrt 3 } \right)\end{array}\)

Phương trình mặt phẳng \(\left( \alpha  \right)\): \(18\sqrt 7 x + 6\sqrt {21} y - 12\sqrt 3 z + 54\sqrt 7  = 0\).

\(d\left( {BC,SA} \right) = d\left( {B,\left( \alpha  \right)} \right) = \frac{{\left| {18\sqrt 7  \times 3 + 54\sqrt 7 } \right|}}{{\sqrt {{{\left( {18\sqrt 7 } \right)}^2} + {{\left( {6\sqrt {21} } \right)}^2} + {{\left( { - 12\sqrt 3 } \right)}^2}} }} = \frac{{108\sqrt 7 }}{{\sqrt {3456} }} = \frac{{3\sqrt {42} }}{4} \approx 4,86\).