Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác đều cạnh a, I là trung điểm của AB, hình chiếu S lên mặt đáy là trung điểm H của CI, góc giữa SA và đáy là 45°. Khoảng cách giữa SA và CI bằng:

30/40

Cho hình chóp $S.ABC$ có đáy là tam giác đều cạnh $a$, $I$ là trung điểm của $AB$, hình chiếu $S$ lên mặt đáy là trung điểm $H$ của $CI$, góc giữa $SA$ và đáy là $45^\circ $. Khoảng cách giữa $SA$ và $CI$ bằng

$\frac{a}{2}$.

$\frac{{a\sqrt 3 }}{2}$.

$\frac{{a\sqrt {77} }}{{22}}$.

$\frac{{a\sqrt 7 }}{4}$.

Giải thích

$Vì $M = {\rm{\Delta }} \cap d$ n (ảnh 1)$

$SH \bot \left( {ABC} \right) \Rightarrow \left( {SA,\left( {ABC} \right)} \right) = \widehat {SAH} = 45^\circ $.

Do đó, tam giác $SAH$ vuông cân tại $H$ nên $SH = AH$.

Xét tam giác $AIH$ vuông tại $I$ ta có $AH = \sqrt {A{I^2} + H{I^2}} = \frac{{a\sqrt 7 }}{4} \Rightarrow SH = \frac{{a\sqrt 7 }}{4}$.

Vẽ $Ax$ song song $CI$ và $HE$ vuông góc $Ax$ tại $E$.

Ta có \[IC//AE\] nên $IC//\left( {SAE} \right)$ \[ \Rightarrow {\rm{d}}\left( {IC,SA} \right) = {\rm{d}}\left( {IC,\left( {SAE} \right)} \right) = {\rm{d}}\left( {H,\left( {SAE} \right)} \right)\].

Vẽ $HK \bot SE$ tại $K$.

Ta có $\left\{ \begin{array}{l}AE \bot HE\\AE \bot SH\end{array} \right. \Rightarrow AE \bot \left( {SHE} \right) \Rightarrow AE \bot HK$, mà $HK \bot SE$ nên $HK \bot \left( {SAE} \right)$,

do đó ${\rm{d}}\left( {H,\left( {SAE} \right)} \right) = HK$.

Ta có $AIHE$ là hình bình hành nên $HE = AI = \frac{a}{2}$.

Tam giác $SHE$ vuông tại $H$ nên $\frac{1}{{H{K^2}}} = \frac{1}{{S{H^2}}} + \frac{1}{{H{E^2}}} = \frac{{44}}{{7{a^2}}} \Rightarrow HK = \frac{{a\sqrt {77} }}{{22}}$. Chọn C.