Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác đều cạnh a, cạnh bên SA = a và SA vuông góc (ABC). Gọi I là trung điểm của BC. Khoảng cách giữa hai đường thẳng SI và AB bằng

Lời giải

Gọi \(J\) là trung điểm của \(AC\) ta có \(IJ{\rm{//}}AB \Rightarrow AB{\rm{//}}\left( {SIJ} \right) \supset SI\).

\( \Rightarrow d\left( {AB,SI} \right) = d\left( {AB,\left( {SIJ} \right)} \right) = d\left( {A,\left( {SIJ} \right)} \right)\).

Gọi \(M\) là trung điểm của \(AB\), vì \(\Delta ABC\) đều nên \(CM \bot AB \Rightarrow CM \bot IJ\).

Trong mặt phẳng \(\left( {ABC} \right)\) kẻ \(AH{\rm{//}}CM \Rightarrow AH \bot IJ\) \(\left( {H \in IJ} \right)\). Ta có \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{IJ \bot AH}\\{IJ \bot SA}\end{array}} \right. \Rightarrow IJ \bot \left( {SAH} \right)\).

Trong mặt phẳng \(\left( {SAH} \right)\) kẻ \(AK \bot SH{\mkern 1mu} \left( {K \in SH} \right)\) ta có \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{AK \bot SH}\\{AK \bot IJ{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \left( {{\rm{do}}{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} IJ \bot \left( {SAH} \right)} \right)}\end{array}} \right.\) \( \Rightarrow AK \bot \left( {SIJ} \right)\)

\( \Rightarrow d\left( {A,\left( {SIJ} \right)} \right) = AK\).

Dễ dàng chứng minh được \(AH = \frac{1}{2}CM = \frac{{a\sqrt 3 }}{4}\).

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông \(SAH\): \(AK = \frac{{SA \cdot AH}}{{\sqrt {S{A^2} + A{H^2}} }} = \frac{{a \cdot \frac{{a\sqrt 3 }}{4}}}{{\sqrt {{a^2} + \frac{{3{a^2}}}{{16}}} }} = \frac{{a\sqrt {57} }}{{19}}\).

Vậy \(d\left( {AB,SI} \right) = \frac{{a\sqrt {57} }}{{19}}\). Chọn B.