Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác đều cạnh a. Biết SH vuông góc (ABC) với H thuộc cạnh AB thỏa mãn AB = 3AH. Góc tạo bởi SA và mặt phẳng (ABC) bằng 60°. Khoảng cách giữa hai đường thẳng

92/97

Cho hình chóp \[S.ABC\] có đáy là tam giác đều cạnh $a$. Biết $SH \bot (ABC)$ với $H$ thuộc cạnh $AB$ thỏa mãn $AB = 3AH$. Góc tạo bởi $SA$ và mặt phẳng $(ABC)$ bằng $60^{°}$ . Khoảng cách giữa hai đường thẳng $SA$ và $BC$ là

$\frac{{a\sqrt {15} }}{{10}}$.

$\frac{{2a\sqrt {15} }}{5}$.

$\frac{{a\sqrt {15} }}{5}$.

$\frac{{3a\sqrt {15} }}{5}$.

Giải thích

Giải chi tiết:

Kẻ \[Ax\]song song với $BC$

Kẻ $HK$ vuông góc với \[Ax\], kẻ $HF$ vuông góc với \[SK.\]

Bước $1:$ Chứng minh $HF \bot (SAK)$

Ta có

$\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{HK \bot Ax}\\{SH \bot Ax}\end{array}} \right. \Rightarrow Ax \bot (SHK) \Rightarrow AK \bot HF$

$\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{AK \bot HF}\\{HF \bot SK}\end{array}} \right. \Rightarrow HF \bot (SAK)$

Bước $2:$ Chứng tỏ $d(BC,SA) = 3d(H,(SAK))$ và tìm khoảng cách .

$d(BC,SA) = d(BC,(SAK)) = d(B,(SAK)) = 3d(H,(SAK))$

Ta có $AB = a \Rightarrow AH = \frac{a}{3}$

Tam giác $ABC$A đều nên

$ \Rightarrow HK = \frac{{\sqrt 3 }}{2} \cdot AH = \frac{{\sqrt 3 }}{2} \cdot \frac{1}{3}a = \frac{a}{{2\sqrt 3 }}$

Góc tạo bởi $SA$ và \[\left( {ABC} \right)\] bằng $60^{°}$ nên $SH = \sqrt 3 AH = \frac{a}{{\sqrt 3 }}$

Áp dụng \[HTL\] trong tam giác vuông \[SHK\]ta có:

$\frac{1}{{H{F^2}}} = \frac{1}{{S{H^2}}} + \frac{1}{{H{K^2}}} = \frac{3}{{{a^2}}} + \frac{{12}}{{{a^2}}} = \frac{{15}}{{{a^2}}} \Rightarrow HF = \frac{{a\sqrt {15} }}{{15}}$

Vậy $d(BC,SA) = 3 \cdot \frac{{a\sqrt {15} }}{{15}} = \frac{{a\sqrt {15} }}{5}$.

Đáp án cần chọn là: C