50 bài tập Hình học không gian có lời giải
Xem toàn bộ quiz

Cho hình chóp \(S.ABC\) có đáy là tam giác \(ABC\) vuông tại \(B\) có \(AB = 1,\widehat {ACB} = 30^\circ \). Biết

47/50

Cho hình chóp \(S.ABC\) có đáy là tam giác \(ABC\) vuông tại \(B\) có \(AB = 1,\widehat {ACB} = 30^\circ \). Biết \(SA\) vuông góc với mặt đáy và \(SA = 2\). Gọi \(H\) là hình chiếu của \(A\) trên \(SB\).

a) \(d\left( {A,SB} \right) = AH = \frac{{2\sqrt 5 }}{5}\).

b) \(d\left( {B,\left( {SAC} \right)} \right) = \frac{{\sqrt 3 }}{3}\).

c) \(BC = \sqrt 3 \).

d) Thể tích khối chóp \(S.ABC\) bằng \(\frac{{\sqrt 3 }}{6}\).

0/3000 ký tự
Giải thích

Cho hình chóp \(S.ABC\) có đáy là tam giác \(ABC\) vuông tại \(B\) có \(AB = 1,\widehat {ACB} = 30^\circ \). Biết (ảnh 1)

Vì \(AH \bot SB\) nên \(d\left( {A,SB} \right) = AH\).

Tam giác \(SAB\) vuông tại \(A\), đường cao \(AH\) nên \(\frac{1}{{A{H^2}}} = \frac{1}{{S{A^2}}} + \frac{1}{{A{B^2}}}\).

\( \Rightarrow AH = \frac{{SA \cdot AB}}{{\sqrt {S{A^2} + A{B^2}} }} = \frac{{2 \cdot 1}}{{\sqrt {{2^2} + {1^2}} }} = \frac{{2\sqrt 5 }}{5}\).

Trong mặt phẳng \[\left( {ABC} \right)\], kẻ \(BI \bot AC\) tại \(I\).

Mặt khác \(BI \bot SA\) \(\left( {{\rm{do}}\,\,SA \bot \left( {ABC} \right),BI \subset \left( {ABC} \right)} \right)\).

Vì vậy \(BI \bot \left( {SAC} \right)\) hay \(d\left( {B,\left( {SAC} \right)} \right) = BI\).

Tam giác \(ABI\) vuông tại \(I\) có: \(\sin \widehat {BAC} = \frac{{BI}}{{AB}}\)\( \Rightarrow BI = AB \cdot \sin 60^\circ  = \frac{{\sqrt 3 }}{2}\).

Vậy \(d\left( {B,\left( {SAC} \right)} \right) = BI = \frac{{\sqrt 3 }}{2}\).

Tam giác \(ABC\) vuông tại \(B\) có: \(\tan \widehat {ACB} = \frac{{AB}}{{BC}}\)\( \Rightarrow BC = \frac{{AB}}{{\tan 30^\circ }} = \sqrt 3 \).

Diện tích đáy \(ABC\) của hình chóp \(S.ABC\) là: \({S_{\Delta ABC}} = \frac{1}{2}BA \cdot BC = \frac{{\sqrt 3 }}{2}\).

Chiều cao hình chóp \(S.ABC\) là \(h = SA = 2\).

Thể tích khối chóp \(S.ABC\) là: \({V_{S.ABC}} = \frac{1}{3}Sh = \frac{1}{3} \cdot \frac{{\sqrt 3 }}{2} \cdot 2 = \frac{{\sqrt 3 }}{3}\).

Đáp án:       a) Đúng,      b) Sai,                   c) Đúng,      d) Sai.