Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác ABC. Gọi M, N lần lượt nằm trên cạnh SB, BC sao cho SB = 3SM, BN = 2NC và G là trọng tâm tam giác ABC

a) SAI: Ta thấy \(M \in SB \subset \left( {SBC} \right) \Rightarrow M \in \left( {MAC} \right) \cap \left( {SBC} \right)\).

Và \(C\) là điểm chung thứ hai của hai mặt phẳng \(\left( {MAC} \right)\) và \(\left( {SBC} \right)\). Do đó giao tuyến phải là \(MC\).

b) SAI: Gọi \(K\) là trung điểm \(AC\). Vì \(G\) là trọng tâm và \(\frac{{BG}}{{BK}} = \frac{2}{3}\).

Mặt khác, \(BN = 2NC \Rightarrow \frac{{BN}}{{BC}} = \frac{2}{3}\).

Xét tam giác \(BKC\), ta có \(\frac{{BG}}{{BK}} = \frac{{BN}}{{BC}} = \frac{2}{3} \Rightarrow GN{\rm{//}}CK \Rightarrow GN{\rm{//}}AC\).

Vì \(GN{\rm{//}}AC\) nên đường thẳng \(AC\) song song với mặt phẳng \(\left( {SGN} \right)\), do đó chúng không cắt nhau.

c) SAI: Vì \(GN{\rm{//}}AC\) (chứng minh ở trên), không song song với \(SB\).

d) ĐÚNG: Ta có \(GN{\rm{//}}AC\) (1).

Mặt khác, trong ta có \(\frac{{SM}}{{SB}} = \frac{1}{3}\) và \(\frac{{CN}}{{CB}} = \frac{1}{3} \Rightarrow \frac{{SM}}{{SB}} = \frac{{CN}}{{CB}} \Rightarrow MN{\rm{//}}SC\) (2).

Từ (1) và (2) suy ra \(\left( {GMN} \right){\rm{//}}\left( {SAC} \right)\).