Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác ABC đều cạnh a

Đáp án đúng là B

Phương pháp giải

Gọi \(D\) là hình chiếu của \(S\) lên mặt phẳng \(\left( {ABC} \right)\), suy ra \(SD \bot \left( {ABC} \right)\).

Lời giả

Gọi \(D\) là hình chiếu của \(S\) lên mặt phẳng \(\left( {ABC} \right)\), suy ra \(SD \bot \left( {ABC} \right)\).

Ta có \(SD \bot AB\) và \(SB \bot AB\) (gt) suy ra \(AB \bot \left( {SBD} \right) \Rightarrow BA \bot BD\).

Tương tự có \(AC \bot DC\) hay tam giác \(ACD\) vuông ở \(C\).

Dễ thấy \(\Delta SBA = \Delta SCA\) (cạnh huyền và cạnh góc vuông), suy ra \(SB = SC\). Từ đó ta chứng minh được \({\rm{\Delta }}SBD = \Delta SCD\) nên cũng có \(DB = DC\).

Vậy \(DA\) là đường trung trực của \(BC\) nên cũng là đường phân giác của góc \(\widehat {BAC}\).

Ta có \(\widehat {DAC} = {30^ \circ }\), suy ra \(DC = \frac{a}{{\sqrt 3 }}\). Ngoài ra góc giữa hai mặt phẳng \(\left( {SAB} \right)\) và \(\left( {ABC} \right)\) là\(\widehat {SBD} = {60^ \circ }\), suy ra \(\tan \widehat {SBD} = \frac{{SD}}{{BD}} \Rightarrow SD = BD.\tan \widehat {SBD} = \frac{a}{{\sqrt 3 }}.\sqrt 3 = a\).

Vậy \({V_{S.ABC}} = \frac{1}{3}.{S_{\Delta ABC}}.SD = \frac{1}{3}.\frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4}.a = \frac{{{a^3}\sqrt 3 }}{{12}}\).