Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại

26/234

Cho hình chóp \(S.ABC\) có đáy \(ABC\) là tam giác vuông tại \(B,{\rm{ }}AB = 3a,{\rm{ }}BC = 4a.\) Cạnh bên \(SA\) vuông góc với đáy. Góc tạo bởi giữa \(SC\) và đáy bằng \(60^\circ \). Gọi là trung điểm của \(AC\), khoảng cách giữa hai đường thẳng \(AB\) và \(SM\) bằng:

\(a\sqrt 3 \).

\(\frac{{10a\sqrt 3 }}{{\sqrt {79} }}\).

\(\frac{{5a}}{2}\).

\(5a\sqrt 3 \).

Giải thích

Sử dụng định lí Pythagore ta tính được \(AC = 5a\).

Có \(\left( {SC,\left( {ABC} \right)} \right) = \widehat {SCA} = 60^\circ \). Suy ra \(SA = AC \cdot \tan 60^\circ = 5a\sqrt 3 \).

Gọi \(N\) là trung điểm \(BC\)\( \Rightarrow AB{\rm{//}}\left( {SMN} \right)\)

\( \Rightarrow d\left( {AB,{\rm{ }}SM} \right) = d\left( {A,\left( {SMN} \right)} \right)\).

Dựng \(AH \bot MN\) tại \(H\) trong mặt phẳng \(\left( {ABC} \right)\).

Dựng \(AK \bot SH\) tại \(K\) trong mặt phẳng \(\left( {{\rm{S}}AH} \right)\).

Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại (ảnh 1)

\( \Rightarrow AK \bot \left( {SMN} \right)\) tại \(K\) nên \(d\left( {A,\left( {SMN} \right)} \right) = AK\)\[ \Rightarrow d\left( {AB,SM} \right) = AK\].

Ta có: \(AH = NB = 2a\).

Khi đó, \(\frac{1}{{A{K^2}}} = \frac{1}{{A{H^2}}} + \frac{1}{{S{A^2}}} = \frac{1}{{4{a^2}}} + \frac{1}{{75{a^2}}} = \frac{{79}}{{300{a^2}}}\)\( \Rightarrow AK = \frac{{10a\sqrt 3 }}{{\sqrt {79} }}\). Chọn B.