Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B, BC = a căn bậc hai 3,AC = 2a. Cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng đáy và SA = a căn bậc hai 3. Tính góc giữa đường thẳng SB và mặt phẳn

Hướng dẫn giải

Vì \(SA \bot \left( {ABC} \right)\) nên \(AB\) là hình chiếu của \(SB\) trên mặt phẳng \(\left( {ABC} \right)\).

Ta có:\(\left( {SB,(ABC)} \right) = \left( {SB,BA} \right) = \widehat {SBA} = \varphi \).

Xét \(\Delta ABC\) vuông tại \(B,\) có \(AB = \sqrt {A{C^2} - B{C^2}}  = \sqrt {{{\left( {2a} \right)}^2} - {{\left( {a\sqrt 3 } \right)}^2}}  = \sqrt {{a^2}}  = a\).

Xét \(\Delta SAB\) vuông tại \(A,\) ta có \(\tan \varphi  = \frac{{SA}}{{AB}} = \frac{{a\sqrt 3 }}{a} = \sqrt 3  \Rightarrow \varphi  = 60^\circ \).

Vậy góc giữa đường thẳng \(SB\) và mặt phẳng đáy bằng \(60^\circ \).