Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại A, biết

11/235

Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại $A$, biết

\[AB = a,\quad BC = a\sqrt 5 ,\quad SA = 3a,\quad SA \bot (ABC)\]

Tính khoảng cách từ điểm $A$ đến mặt phẳng $(SBC)$.

$\frac{{6a}}{7}$

$\frac{{\sqrt 2 a}}{2}$

$\frac{{3a}}{7}$

$\frac{{\sqrt 5 a}}{5}$

Giải thích

Giải chi tiết:

$Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại $A$, biết (ảnh 1)$

Trong mặt phẳng $(ABC)$, kẻ $AH \bot BC$, $H \in BC$.

Do $SA \bot (ABC)$ nên $SA \bot BC$.

Suy ra $BC \bot (SAH)$.

Mà $BC \subset (SBC)$ nên

\[(SAH) \bot (SBC) \Rightarrow d(A,(SBC)) = AK\]

với $AK \bot SH$.

Xét tam giác ABC vuông tại $A$:

\[AC = \sqrt {B{C^2} - A{B^2}} = 2a\]

\[A{H^2} = \frac{1}{{A{B^2}}} + \frac{1}{{A{C^2}}} = \frac{1}{{{a^2}}} + \frac{1}{{4{a^2}}} = \frac{5}{4}{a^2}\]

Xét tam giác vuông SAH tại $A$:

\[A{K^2} = S{A^2} + A{H^2} = 9{a^2} + \frac{5}{4}{a^2} = \frac{{49}}{{36}}{a^2}\]

\[ \Rightarrow AK = \frac{{6a}}{7}\]

Mở rộng:

Công thức tổng quát: Khoảng cách từ điểm $M\left( {{x_0},{y_0},{z_0}} \right)$ đến mặt phẳng $\left( {Ax + By + Cz + D = 0} \right):$

$d = \frac{{\left| {A{x_0}{\rm{ + }}B{y_0}{\rm{ + }}C{z_0}{\rm{ + }}D} \right|}}{{\sqrt {{A^2} + {B^2} + {C^2}} }}$

Với hình chóp, thường phải dựng đường vuông góc từ điểm đến mặt phẳng rồi áp dụng công thức khoảng cách.