Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại A, AB = a. Tam giác

41/47

Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại A, AB = a. Tam giác SAB đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Đường thẳng BC tạo với mặt phẳng (SAC) góc 30°. Tính diện tích tam giác ABC.

\({S_{ABC}} = \frac{{{a^2}\sqrt 2 }}{2}\)

\({S_{ABC}} = {a^2}\sqrt 2 \)

\({S_{ABC}} = \frac{{{a^2}\sqrt 2 }}{4}\)

\({S_{ABC}} = \frac{{{a^2}\sqrt 2 }}{6}\).

Giải thích

Đáp án đúng là: A

Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại A, AB = a. Tam giác (ảnh 1)

Gọi I là trung điểm của AB

Vì tam giác SAB đều nên \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{SI = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}}\\{SI \bot AB}\end{array}} \right.\)

Mà \((SAB) \bot (ABC) \Rightarrow SI \bot (ABC){\rm{; }}\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{SI \bot AC}\\{AB \bot AC}\end{array} \Rightarrow AC \bot (SAB)} \right.\)

Kẻ BK vuông góc với SA tại K

Vì \(AC \bot (SAB)\) nên \(AC \bot BK \Rightarrow BK \bot (SAC){\rm{ v\`a }}BK = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}\)

Do đó, góc giữa BC và (SAC) là \(\widehat {BCK}\) suy ra \(\widehat {BCK} = 30^\circ \)

Khi đó: \(BC = \frac{{BK}}{{\sin \widehat {BCK}}} = a\sqrt 3 \)

Vì tam giác ABC vuông tại A nên theo định lý Pytago có \(AC = \sqrt {B{C^2} - A{B^2}} = a\sqrt 2 \)

Suy ra diện tích tam giác ABC là \({S_{ABC}} = \frac{1}{2}.AB.AC = \frac{{{a^2}\sqrt 2 }}{2}\)

Vậy ta chọn đáp án A.